Aquest és un article sobre com factoritzar un polinomi cub. Explorarem com tenir en compte l’ús d’agrupacions i l’ús de factors de termes independents.
Pas
Mètode 1 de 2: Factorització per agrupació
Pas 1. Agrupeu el polinomi en dues parts
L’agrupació d’un polinomi en dues meitats us permetrà trencar cada part per separat.
Suposem que fem servir un polinomi: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Divideix en (x3 + 3x2) i (- 6x - 18).
Pas 2. Cerqueu els factors que són els mateixos en cada secció
- Des de (x3 + 3x2), podem veure que el mateix factor és x2.
- A partir de (- 6x - 18), podem veure que el factor igual és -6.
Pas 3. Traieu els factors iguals de tots dos termes
- Traieu el factor x2 de la primera part, obtenim x2(x + 3).
- Traient el factor -6 de la segona part, obtenim -6 (x + 3).
Pas 4. Si cadascun dels dos termes té el mateix factor, podeu combinar-los junts
Obtindreu (x + 3) (x2 - 6).
Pas 5. Trobeu la resposta observant les arrels de l’equació
Si teniu x2 a les arrels de l’equació, recordeu que tant els nombres positius com els negatius satisfaran l’equació.
Les respostes són -3, 6 i -√6
Mètode 2 de 2: Factoring mitjançant termes gratuïts
Pas 1. Reordeneu l'equació en la forma aX3+ bX2+ cX+ d.
Suposem que fem servir un polinomi: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Pas 2. Cerqueu tots els factors de "d"
La constant "d" és un nombre que no té cap variable, com ara "x", al costat.
Els factors són nombres que es poden multiplicar junts per obtenir un altre nombre. En aquest cas, els factors de 10, que és "d", són: 1, 2, 5 i 10
Pas 3. Trobeu un factor que faci que el polinomi sigui igual a zero
Hem de determinar quins factors fan que el polinomi sigui igual a zero quan substituïm factors per cada "x" de l'equació.
-
Comenceu pel primer factor, que és 1. Substituïu "1" per cada "x" de l'equació:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Obtindreu: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Com que 0 = 0 és una afirmació veritable, sabeu que x = 1 és la resposta.
Pas 4. Feu alguns paràmetres
Si x = 1, podeu reordenar la sentència perquè sembli lleugerament diferent sense canviar-ne el significat.
"x = 1" és el mateix que "x - 1 = 0". Només cal restar per "1" a cada costat de l'equació
Pas 5. Agafeu el factor arrel de l'equació de la resta de l'equació
"(x - 1)" és l'arrel de l'equació. Comproveu si podeu desglossar la resta de l'equació. Traieu els polinomis un per un.
- Es pot diferenciar (x - 1) de x3? No. Però podeu demanar prestat -x2 de la segona variable, llavors podeu factoritzar-la: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Es pot factoritzar (x - 1) de la resta de la segona variable? No. Heu de manllevar una mica de la tercera variable. Heu de demanar prestat 3x de -7x. Això donarà el resultat -3x (x - 1) = -3x2 + 3x.
- Com que heu pres 3x de -7x, la tercera variable es converteix en -10x i la constant és 10. Podeu factoritzar-la? Sí! -10 (x - 1) = -10x + 10.
- El que feu és establir la variable de manera que pugueu descomptar (x - 1) de tota l'equació. Reorganitzeu l’equació per una cosa així: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, però l'equació segueix igual a x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Pas 6. Continueu substituint per factors del terme independent
Mireu el número que heu tingut en compte (x - 1) al pas 5:
- x2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Podeu reordenar-lo per facilitar el factorització una vegada més: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Aquí només heu de tenir en compte (x2 - 3x - 10). El resultat del factoratge és (x + 2) (x - 5).
Pas 7. La vostra resposta són les arrels factoritzades de l'equació
Podeu comprovar si la vostra resposta és correcta connectant cada resposta, per separat, a l’equació original.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0. Això donarà les respostes 1, -2 i 5.
- Connecteu -2 a l'equació: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Connecteu 5 a l'equació: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Consells
- No hi ha cap polinomi de cubs que no es pugui tenir en compte utilitzant nombres reals perquè cada cub sempre té una arrel real. Un polinomi cub com x3 + x + 1 que té una arrel real irracional no es pot convertir en un polinomi amb coeficients enters o racionals. Tot i que es pot tenir en compte amb la fórmula del cub, no es pot reduir com a polinomi enter.
- Un polinomi cub és el producte de tres polinomis a la potència d'un o el producte d'un polinomi a la potència d'un i un polinomi a la potència de dos que no es poden tenir en compte. Per a situacions com aquesta última, utilitzeu una divisió llarga després de trobar el primer polinomi de potència per obtenir el segon polinomi de potència.
