En matemàtiques, factoring és una manera de trobar nombres o expressions que quan es multipliquen produiran un nombre o una equació determinats. El factoratge és una habilitat útil per aprendre a resoldre problemes senzills d’àlgebra; la capacitat de factoritzar bé esdevé important quan es tracta d’equacions de segon grau i altres formes de polinomis. El factoratge es pot utilitzar per simplificar les expressions algebraiques per facilitar les seves solucions. El factoring fins i tot us pot proporcionar la possibilitat d’eliminar certes respostes possibles, molt més ràpidament que resoldre-les manualment.
Pas
Mètode 1 de 3: Factorització de nombres i expressions algebraiques simples
Pas 1. Comprendre la definició de factorització quan s’aplica a nombres simples
El factoratge és un concepte senzill, però a la pràctica pot ser un repte quan s’aplica a equacions complexes. Per tant, és més fàcil abordar el concepte de factorització començant per nombres simples i procedint a equacions simples, abans de passar finalment a aplicacions més complexes. Els factors d’un nombre són nombres que, multiplicats, produeixen el nombre. Per exemple, els factors de 12 són 1, 12, 2, 6, 3 i 4, perquè 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4 són iguals a 12.
- Una altra manera de pensar-ho és que els factors d’un nombre són nombres que es poden dividir uniformement en el nombre.
-
Podeu trobar tots els factors del número 60? Utilitzem el número 60 per a diversos propòsits (minuts en una hora, segons en un minut, etc.) perquè pot ser divisible per molts altres números.
Els factors de 60 són 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60
Pas 2. Compreneu que també es poden tenir en compte les expressions variables
De la mateixa manera que es poden tenir en compte els nombres mateixos, també es poden tenir en compte variables amb coeficients numèrics. Per fer-ho, només cal trobar els factors dels coeficients variables. Saber factoritzar una variable és molt útil per simplificar equacions algebraiques que impliquen aquesta variable.
-
Per exemple, la variable 12x es pot escriure com a producte dels factors 12 i x. Podem escriure 12x com a 3 (4x), 2 (6x), etc., utilitzant els factors de 12 que millor funcionin per als nostres propòsits.
Fins i tot podem factoritzar 12 vegades diverses vegades. Dit d’una altra manera, no ens hem d’aturar a 3 (4x) o 2 (6x): podem factoritzar 4x i 6x per produir 3 (2 (2x) i 2 (3 (2x). Per descomptat, aquestes dues expressions són equivalents
Pas 3. Apliqueu la propietat distributiva de la multiplicació a les equacions algebraiques del factor
Utilitzant el vostre coneixement de com factoritzar tant nombres simples com variables amb coeficients, podeu simplificar equacions algebraiques simples trobant els factors que comparteixen nombres i variables en equacions algebraiques. Normalment, per simplificar una equació, intentem trobar el màxim factor comú. Aquest procés de simplificació és possible a causa de la propietat distributiva de la multiplicació, que s’aplica a qualsevol número a, b i c. a (b + c) = ab + ac.
- Anem a provar un exemple de pregunta. Per factoritzar l’equació algebraica 12x + 6, primer, intentem trobar el màxim comú factor de 12x i 6. 6 és el nombre més gran que pot dividir uniformement 12x i 6, de manera que podem simplificar l’equació a 6 (2x + 1).
- Aquest procés també s'aplica a equacions amb fraccions i nombres negatius. Per exemple, x / 2 + 4 es pot simplificar a 1/2 (x + 8) i es pot considerar -7x + -21 a -7 (x + 3).
Mètode 2 de 3: Factorització d’equacions quadràtiques
Pas 1. Assegureu-vos que l’equació té forma quadràtica (ax2 + bx + c = 0).
Les equacions quadràtiques tenen la forma ax2 + bx + c = 0, on a, b i c són constants de número i no són iguals a 0 (tingueu en compte que a pot ser igual a 1 o -1). Si teniu una equació que té una variable (x) que té un terme x a la potència de dos o més, normalment moveu aquests termes a l’equació utilitzant operacions algebraiques simples per obtenir 0 a banda i banda del signe i l’eix iguals2, etc. per una altra banda.
- Per exemple, pensem en una equació algebraica. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 es pot simplificar a x2 + 6x + 9 = 0, que és la forma quadrada.
- Equacions amb la potència més gran de x, com ara x3, x4, etc. no són equacions de segon grau. Aquestes equacions són equacions cúbiques, fins a la quarta potència, etc., tret que es pugui simplificar l'equació per eliminar aquests termes amb potències superiors a 2.
Pas 2. En una equació de segon grau, on a = 1, factoritza en (x + d) (x + e), on d × e = c i d + e = b
Si la vostra equació quadràtica té la forma x2 + bx + c = 0 (és a dir, si el coeficient del terme x2 = 1), és possible (però no es garanteix) que es pugui utilitzar un mètode de taquigrafia bastant fàcil per factoritzar l'equació. Trobeu dos nombres que multiplicats donen c i sumat per produir b. Després de cercar aquests dos números d i e, poseu-los en la següent expressió: (x + d) (x + e). Aquests dos termes, quan es multipliquen, us proporcionen la vostra equació de segon grau, és a dir, són els factors de la vostra equació de segon grau.
- Per exemple, pensem en l’equació de segon grau x2 + 5x + 6 = 0. 3 i 2 es multipliquen per donar 6 i també s’afegeixen per donar 5, de manera que podem simplificar aquesta equació a (x + 3) (x + 2).
-
La lleugera diferència d’aquest mètode bàsic de taquigrafia rau en les diferències en les mateixes similituds:
- Si l’equació de segon grau té la forma x2-bx + c, la vostra resposta és la següent: (x - _) (x - _).
- Si l’equació té la forma x2+ bx + c, la vostra resposta té aquest aspecte: (x + _) (x + _).
- Si l’equació té la forma x2-bx-c, la vostra resposta es troba en la forma (x + _) (x - _).
- Nota: els números dels espais en blanc poden ser fraccions o decimals. Per exemple, l’equació x2 + (21/2) x + 5 = 0 es té en compte (x + 10) (x + 1/2).
Pas 3. Si és possible, tingueu en compte els controls
Creieu-ho o no, per a equacions quadràtiques senzilles, un dels mètodes de factorització permesos és examinar el problema i, a continuació, considerar les possibles respostes fins que trobeu la resposta correcta. Aquest mètode també es coneix com a factoratge mitjançant examen. Si l’equació té la forma ax2+ bx + c i a> 1, la resposta del vostre factor es troba en la forma (dx +/- _) (ex +/- _), on d i e són constants de nombres diferents de zero que en multiplicar-se donen a. Ni d ni e (ni tots dos) poden ser 1, tot i que no ha de ser-ho. Si tots dos són 1, bàsicament utilitzeu el mètode abreujat descrit anteriorment.
Pensem en un exemple de problema. 3x2 - 8x + 4 sembla difícil al principi. Tanmateix, un cop ens adonem que 3 només té dos factors (3 i 1), aquesta equació es fa més fàcil perquè sabem que la nostra resposta ha de ser de la forma (3x +/- _) (x +/- _). En aquest cas, afegir -2 a tots dos espais en blanc dóna la resposta correcta. -2 × 3x = -6x i -2 × x = -2x. -6x i -2x sumen -8x. -2 × -2 = 4, de manera que podem veure que els termes factoritzats entre parèntesis quan es multipliquen produeixen l'equació original.
Pas 4. Resoleu completant el quadrat
En alguns casos, les equacions de segon grau es poden tenir en compte de manera ràpida i senzilla mitjançant identitats algebraiques especials. Qualsevol equació de segon grau en la forma x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Per tant, si a la vostra equació el valor b és el doble de l’arrel quadrada del valor c, es pot considerar l’equació (x + (arrel (c)))2.
Per exemple, l’equació x2 + 6x + 9 té aquesta forma. 32 és 9 i 3 × 2 és 6. Per tant, sabem que la forma del factor d'aquesta equació és (x + 3) (x + 3) o (x + 3)2.
Pas 5. Utilitzeu factors per resoldre equacions de segon grau
Independentment de com hagis tingut en compte la teva equació de segon grau, un cop es tingui en compte l’equació, podràs trobar possibles respostes al valor de x fent que cada factor sigui igual a zero i resolent-les. Com que busqueu el valor de x que faci que la vostra equació sigui igual a zero, el valor de x que faci que qualsevol factor sigui igual a zero és una possible resposta a la vostra equació de segon grau.
Tornem a l'equació x2 + 5x + 6 = 0. Aquesta equació es té en compte (x + 3) (x + 2) = 0. Si qualsevol factor és igual a 0, totes les equacions són iguals a 0, de manera que les nostres respostes possibles per a x són números: un nombre que fa que (x + 3) i (x + 2) són iguals a 0. Aquests nombres són -3 i -2, respectivament.
Pas 6. Comproveu les respostes: algunes de les respostes poden ser enganyoses
Quan trobeu possibles respostes per a x, torneu-les a connectar a l'equació original per veure si la resposta és correcta. De vegades, les respostes que trobeu no fan que l’equació original sigui igual a zero quan es torna a introduir. Anomenem aquesta resposta desviada i la ignorem.
-
Posem -2 i -3 a x2 + 5x + 6 = 0. Primer, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Aquesta resposta és correcta, de manera que -2 és la resposta correcta.
-
Ara, provem -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Aquesta resposta també és correcta, de manera que -3 és la resposta correcta.
Mètode 3 de 3: Factorització d’altres equacions
Pas 1. Si l’equació s’expressa en la forma a2-b2, factor en (a + b) (a-b).
Les equacions amb dues variables tenen diferents factors que l’equació quadràtica bàsica. Per a l'equació a2-b2 qualsevol cosa en què a i b no siguin iguals a 0, els factors de l'equació són (a + b) (a-b).
Per exemple, l’equació 9x2 - 4 anys2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Pas 2. Si l’equació s’expressa en la forma a2+ 2ab + b2, factor en (a + b)2.
Tingueu en compte que, si el trinomi és de la forma a2-2ab + b2, els factors de forma són lleugerament diferents: (a-b)2.
Equació 4x2 + 8xy + 4y2 es pot reescriure com a 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Ara, podem veure que la forma és correcta, de manera que podem estar segurs que els factors de la nostra equació són (2x + 2y)2
Pas 3. Si l’equació s’expressa en la forma a3-b3, factor en (a-b) (a2+ ab + b2).
Finalment, ja es va esmentar que es poden tenir en compte equacions cúbiques i potències fins i tot superiors, tot i que el procés de factorització es converteix ràpidament en molt complicat.
Per exemple, 8x3 - 27 anys3 factoritzat a (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Consells
- a2-b2 es pot tenir en compte, a2+ b2 no es pot tenir en compte.
- Recordeu com factoritzar una constant. Això pot ajudar.
- Aneu amb compte amb les fraccions en el procés de factorització i treballeu les fraccions correctament i amb cura.
- Si teniu un trinomi de la forma x2+ bx + (b / 2)2, el factor de forma és (x + (b / 2))2. (Podeu trobar aquesta situació en completar la casella.)
- Recordeu que a0 = 0 (la propietat del producte de zero).
