Un polinomi conté una variable (x) amb una potència, coneguda com a grau, i diversos termes i / o constants. Factoritzar un polinomi significa trencar l'equació en equacions més simples que es poden multiplicar. Aquesta habilitat es troba a Àlgebra 1 i posteriors i pot ser difícil de comprendre si les vostres habilitats matemàtiques no estan en aquest nivell.
Pas
Començar
Pas 1. Configureu la vostra equació
El format estàndard per a una equació de segon grau és:
destral2 + bx + c = 0
Comenceu ordenant els termes de la vostra equació de major a menor potència, igual que en aquest format estàndard. Per exemple:
6 + 6x2 + 13x = 0
Reordenarem aquesta equació perquè sigui més fàcil de treballar simplement movent els termes:
6x2 + 13x + 6 = 0
Pas 2. Cerqueu el factor de forma mitjançant un dels mètodes següents
Factoritzant el polinomi resulta en dues equacions més simples que es poden multiplicar per produir el polinomi original:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En aquest exemple, (2x + 3) i (3x + 2) són els factors de l'equació original, 6x2 + 13x + 6.
Pas 3. Comproveu el vostre treball
Multiplica els factors que tens. A continuació, combina els termes similars i ja està. Començar amb:
(2x + 3) (3x + 2)
Intentem, multipliquem els termes utilitzant PLDT (primer - fora - dins - darrer), resultant en:
6x2 + 4x + 9x + 6
A partir d’aquí, podem sumar 4x i 9x perquè són com termes. Sabem que els nostres factors són correctes perquè obtenim la nostra equació original:
6x2 + 13x + 6
Mètode 1 de 6: prova i error
Si teniu un polinomi bastant simple, és possible que pugueu trobar els factors vosaltres només mirant-los. Per exemple, després de la pràctica, molts matemàtics poden esbrinar que l’equació 4x2 + 4x + 1 té un factor de (2x + 1) i (2x + 1) només mirant-lo sovint. (Això, per descomptat, no serà fàcil per a polinomis més complicats). Per a aquest exemple, fem servir una equació d'ús menys freqüent:
3x2 + 2x - 8
Pas 1. Escriviu una llista dels factors del terme a i del terme c
Utilitzant el format d’equació de destral2 + bx + c = 0, identifiqueu els termes a ec i escriviu els factors que tenen tots dos termes. Per a 3x2 + 2x - 8, que significa:
a = 3 i té un conjunt de factors: 1 * 3
c = -8 i té quatre conjunts de factors: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8.
Pas 2. Escriviu dos conjunts de claudàtors amb espais en blanc
Empleneu els espais buits que heu creat amb constants per a cada equació:
(x) (x)
Pas 3. Empleneu els espais en blanc davant de x amb els possibles parells de factors pel valor de a
Per al terme a del nostre exemple, 3x2, només hi ha una possibilitat per al nostre exemple:
(3x) (1x)
Pas 4. Empleneu els dos espais en blanc després de x amb parells de factors per a la constant
Suposem que escollim 8 i 1. Escriviu-hi:
(3x
Pas 8.)(
Pas 1
Pas 5. Determineu el signe (més o menys) entre la variable x i el nombre
Depenent dels signes de l'equació original, és possible cercar signes de constants. Suposem que anomenem les dues constants h i k pels nostres dos factors:
Si destral2 + bx + c llavors (x + h) (x + k)
Si destral2 - bx - c o destral2 + bx - c llavors (x - h) (x + k)
Si destral2 - bx + c llavors (x - h) (x - k)
Per al nostre exemple, 3x2 + 2x - 8, els signes són: (x - h) (x + k), donant-nos dos factors:
(3x + 8) i (x - 1)
Pas 6. Proveu les vostres eleccions mitjançant la multiplicació del primer a l'últim (PLDT)
La primera prova ràpida consisteix a veure si el terme mitjà té almenys el valor correcte. Si no, és possible que hàgiu triat els factors c incorrectes. Anem a provar la nostra resposta:
(3x + 8) (x - 1)
Mitjançant la multiplicació, obtenim:
3x2 - 3x + 8x - 8
Simplificant aquesta equació afegint els termes semblants (-3x) i (8x), obtenim:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Ara sabem que hem d'haver utilitzat els factors equivocats:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Pas 7. Canvieu la selecció si cal
En el nostre exemple, provem 2 i 4 en lloc d’1 i 8:
(3x + 2) (x - 4)
Ara el nostre terme c és -8, però el producte extern / interior (3x * -4) i (2 * x) és -12x i 2x, que combinats no produiran el terme b + 2x correcte.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Pas 8. Invertiu l'ordre si cal
Intentem canviar el 2 i el 4:
(3x + 4) (x - 2)
Ara, el nostre terme c (4 * 2 = 8) és correcte, però el producte exterior / interior és -6x i 4x. Si els combinem:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Estem bastant a prop de 2x que busquem, però el signe és incorrecte.
Pas 9. Reviseu les etiquetes si cal
Utilitzarem el mateix ordre, però canviarem les equacions que tinguin el signe menys:
(3x - 4) (x + 2)
Ara el terme c no és un problema i el producte exterior / interior actual és (6x) i (-4x). Perquè:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ara podem utilitzar 2x positius del problema original. Aquests han de ser els factors correctes.
Mètode 2 de 6: Descomposició
Aquest mètode identificarà tots els possibles factors dels termes a i c i els utilitzarà per trobar els factors correctes. Si els números són massa grans o l’endevinació sembla que requereix molt de temps, utilitzeu aquest mètode. Utilitzem un exemple:
6x2 + 13x + 6
Pas 1. Multiplicar terme a per terme c
En aquest exemple, a és 6 i c també és 6.
6 * 6 = 36
Pas 2. Obteniu el terme b per factorització i proves
Cerquem dos nombres que siguin factors del producte a * c que hem identificat i que sumin el terme b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Pas 3. Substituïu els dos números que obtingueu a la vostra equació com a resultat de sumar el terme b
Utilitzem k i h per representar els dos nombres que tenim, 4 i 9:
destral2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Pas 4. Factoreu el polinomi agrupant-lo
Ordeneu les equacions de manera que pugueu prendre el màxim factor comú tant del primer com del segon terme. El grup de factors ha de ser el mateix. Afegiu el factor comú més gran i col·loqueu-lo entre parèntesis al costat del grup de factors; el resultat són els vostres dos factors:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Mètode 3 de 6: Triple Play
De manera similar al mètode de descomposició, el mètode del triple joc examina els possibles factors de multiplicar els termes a i c i utilitzar el valor de b. Proveu d'utilitzar aquest exemple d'equació:
8x2 + 10x + 2
Pas 1. Multiplicar terme a per terme c
Igual que el mètode d’anàlisi, això ens ajudarà a identificar els candidats al terme b. En aquest exemple, a és 8 i c és 2.
8 * 2 = 16
Pas 2. Trobeu dos nombres que, multiplicats per nombres, produeixen aquest nombre amb una suma total igual al terme b
Aquest pas és el mateix que analitzar: provem i descartem els candidats per a la constant. El producte dels termes a i c és 16 i el terme c és 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Pas 3. Agafeu aquests dos números i proveu-los connectant-los a la fórmula del triple joc
Agafeu els nostres dos números del pas anterior (anomenem-los h i k) i connecteu-los a l'equació:
((ax + h) (ax + k)) / a
Aconseguirem:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Pas 4. Fixeu-vos si algun dels dos termes del numerador és divisible per a
En aquest exemple, hem vist si (8x + 8) o (8x + 2) és divisible per 8. (8x + 8) és divisible per 8, de manera que dividirem aquest terme per a i deixarem els altres factors en pau.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
El terme entre parèntesis és el que queda després de dividir pel terme a.
Pas 5. Preneu el màxim factor comú (MCD) d'un o dels dos termes, si n'hi ha
En aquest exemple, el segon terme té un MCD de 2, perquè 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combineu aquest resultat amb el terme obtingut del pas anterior. Aquests són els factors de la vostra equació.
2 (x + 1) (4x + 1)
Mètode 4 de 6: diferència d'arrels quadrades
Alguns coeficients en polinomis poden ser "quadrats", o el producte de dos nombres. Identificar aquests quadrats us permet factoritzar múltiples polinomis més ràpidament. Proveu aquesta equació:
27x2 - 12 = 0
Pas 1. Traieu el màxim factor comú si és possible
En aquest cas, podem veure que 27 i 12 són divisibles per 3, de manera que obtenim:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Pas 2. Identifiqueu si els coeficients de la vostra equació són nombres quadrats
Per utilitzar aquest mètode, heu de poder prendre l'arrel quadrada d'ambdós termes. (Tingueu en compte que ignorarem el signe negatiu, ja que aquests nombres són quadrats poden ser el producte de dos nombres positius o negatius)
9x2 = 3x * 3x i 4 = 2 * 2
Pas 3. Amb l’arrel quadrada que heu obtingut, escriviu els factors
Agafarem els valors de a i c del nostre pas anterior: a = 9 i c = 4, a continuació, trobarem l’arrel quadrada - a = 3 i c = 2. El resultat és el coeficient de l’equació del factor:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Mètode 5 de 6: fórmula quadràtica
Si tota la resta falla i l'equació no es pot considerar sencera, utilitzeu la fórmula quadràtica. Proveu aquest exemple:
x2 + 4x + 1 = 0
Pas 1. Introduïu els valors necessaris a la fórmula quadràtica:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Obtenim l'equació:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Pas 2. Cerqueu el valor de x
Obtindreu dos valors. Com es mostra més amunt, obtenim dues respostes:
x = -2 + (3) o x = -2 - (3)
Pas 3. Utilitzeu el vostre valor x per trobar els factors
Connecteu els valors x que teniu a les dues equacions polinòmiques com a constants. El resultat són els vostres factors. Si anomenem les nostres respostes h i k, anotem els dos factors de la següent manera:
(x - h) (x - k)
En aquest exemple, la nostra resposta final és:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Mètode 6 de 6: utilitzar la calculadora
Si se us permet utilitzar una calculadora, una calculadora gràfica facilita molt el procés de factoring, especialment per a proves estandarditzades. Aquestes instruccions són per a la calculadora gràfica TI. Utilitzarem un exemple d’equació:
y = x2 x 2
Pas 1. Introduïu l'equació a la calculadora
Utilitzarà el factoratge de l’equació, que s’escriu [Y =] a la pantalla.
Pas 2. Representeu gràficament l’equació amb la calculadora
Quan hàgiu introduït la vostra equació, premeu [GRAPH]: veureu una corba suau que representa la vostra equació (i la forma és una corba perquè estem utilitzant polinomis).
Pas 3. Cerqueu la ubicació on es creua la corba amb l'eix x
Atès que les equacions polinòmiques s’escriuen normalment com a ax2 + bx + c = 0, aquesta intersecció és el segon valor de x que fa que l’equació sigui zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Si no podeu identificar la intersecció de la gràfica amb l'eix x mirant-la, premeu [2n] i després [TRACA]. Premeu [2] o seleccioneu zero. Moveu el cursor cap a l'esquerra de la intersecció i premeu [ENTER]. Moveu el cursor a la dreta de la intersecció i premeu [ENTER]. Mou el cursor el més a prop possible de la intersecció i prem [ENTER]. La calculadora trobarà el valor de x. Feu-ho també per a les altres interseccions
Pas 4. Connecteu el valor x obtingut del pas anterior a les dues equacions factorials
Si anomenéssim els nostres valors x h i k, les equacions que faríem servir serien:
(x - h) (x - k) = 0
Per tant, els nostres dos factors són:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Consells
- Si teniu una calculadora TI-84 (gràfic), hi ha un programa anomenat SOLVER que resoldrà les vostres equacions de segon grau. Aquest programa resoldrà polinomis de qualsevol titulació.
- Si no s’escriu un terme, el coeficient és 0. És útil reescriure l’equació si és el cas, per exemple: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Si heu tingut en compte el polinomi mitjançant una fórmula quadràtica i obteniu la resposta en termes d'arrels, és possible que vulgueu convertir el valor de x en una fracció per comprovar.
- Si un terme no té cap coeficient escrit, el coeficient és 1, per exemple: x2 = 1x2.
- Després de practicar prou, al final podreu tenir en compte polinomis al cap. Fins que no ho pugueu fer, assegureu-vos d’escriure sempre el procediment.
