3 maneres de factoritzar un trinomi

2024 Autora: Jason Gerald | [email protected]. Última modificació: 2024-01-15 08:11

Un trinomi és una expressió algebraica que consta de tres termes. El més probable és que comenceu a aprendre a factoritzar un trinomi quadràtic, és a dir, un trinomi escrit en forma de destral² + bx + c. Hi ha alguns trucs per aprendre, que es poden utilitzar per a molts tipus diferents de trinomis quadràtics, però podreu utilitzar-los millor i més ràpidament amb la pràctica. Polinomis d’ordre superior, amb termes com x³ o x⁴, no sempre es pot resoldre de la mateixa manera, però sovint podeu utilitzar un simple factoratge o substitució per convertir-lo en un problema que es pot resoldre com qualsevol altra fórmula quadràtica.

Pas

Mètode 1 de 3: Factoring x² + bx + c

Pas 1. Apreneu la multiplicació de PLDT

Potser heu après a multiplicar PLDT o "Primer, fora, endins, darrer" per multiplicar expressions com (x + 2) (x + 4). És útil saber com funciona aquesta multiplicació abans de tenir en compte:

• Multiplicar les tribus Primer: (x+2)(x+4) = x² + _

• Multiplicar les tribus Fora: (x+2) (x +

  Pas 4.) = x²+ 4x + _

• Multiplicar les tribus En: (x +

  Pas 2.)(x+4) = x²+ 4x + 2x + _

• Multiplicar les tribus Final: (x +

  Pas 2.) (x

  Pas 4.) = x²+ 4x + 2x

  Pas 8.

• Simplifiqueu: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Pas 2. Comprendre el factoratge

Quan es multipliquen dos binomis mitjançant el mètode PLDT, s’obté un trinomi (una expressió amb tres termes) en forma de x²+ b x + c, on a, b i c són nombres ordinaris. Si comenceu amb una equació que té la mateixa forma, podeu tornar-la a dividir en dos binomis.

• Si les equacions no s’escriuen en aquest ordre, reordeneu-les de manera que tinguin aquest ordre. Per exemple, reescriviu 3x - 10 + x² Esdevé x² + 3x - 10.
• Com que la potència més alta és 2 (x², aquest tipus d’expressió s’anomena quadràtic.

Pas 3. Deixeu un espai en blanc per a la resposta en forma de multiplicació PLDT

De moment, només cal escriure (_ _)(_ _) on escriuràs la resposta. L’omplirem mentre hi treballem

No escriviu + o - entre els termes buits perquè encara no sabem el signe correcte

Pas 4. Empleneu els primers termes

Per a problemes senzills, el primer terme del vostre trinomi és només x², els termes de la primera posició sempre són x i x. Aquests són els factors del terme x² perquè x vegades x = x².

• El nostre exemple x² + 3x - 10 començant per x², així podem escriure:
• (x _) (x _)
• Treballarem sobre problemes més complexos a la següent secció, inclosos els trinomis que comencen per termes com 6x² o -x². Mentrestant, seguiu aquestes preguntes de mostra.

Pas 5. Utilitzeu el factoratge per endevinar els últims termes

Si torneu enrere i llegiu els passos de com multiplicar PLDT, veureu que multiplicant els últims termes es produirà l'últim terme en el polinomi (termes que no tenen x). Per tant, hem de trobar dos nombres que, multiplicats, produiran l’últim terme.

• En el nostre exemple x² + 3x - 10, l'últim terme és -10.
• Quins són els factors de -10? Quin nombre es multiplica per -10?
• Hi ha diverses possibilitats: -1 vegades 10, 1 vegades -10, -2 vegades 5 o 2 vegades -5. Escriviu aquestes parelles en algun lloc per recordar-les.
• Encara no canvieu la nostra resposta. La nostra resposta hauria de ser així: (x _) (x _).

Pas 6. Proveu les possibilitats que coincideixen amb el producte exterior i interior

Hem reduït els últims termes a algunes possibilitats. Utilitzeu el sistema de prova per provar totes les possibilitats, multiplicant els termes externs i interiors i comparant el producte amb el nostre trinomi. Per exemple:

• El nostre problema original tenia el terme "x" a 3x, de manera que els resultats de les proves haurien de coincidir amb aquest terme.
• Proves -1 i 10: (x-1) (x + 10). Exterior + Interior = 10x - x = 9x. Mal.
• Proves 1 i -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Això està malament. De fet, si proveu -1 i 10, trobareu que 1 i -10 són el contrari de la resposta anterior: -9x en lloc de 9x.
• Proves -2 i 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. El resultat correspon al polinomi inicial, per tant, aquí teniu la resposta correcta: (x-2) (x + 5).
• En casos simples com aquest, si no teniu una constant davant del terme x², podeu fer servir la forma ràpida: només cal que sumeu els dos factors i que poseu una "x" al darrere (-2 + 5 → 3x). Tot i això, aquest mètode no funciona per a problemes més complexos, de manera que és millor recordar el "llarg camí" descrit anteriorment.

Mètode 2 de 3: Factorització de trinomis més complexos

Pas 1. Utilitzeu el factoratge senzill per simplificar problemes més complexos

Per exemple, heu de tenir en compte 3x² + 9x - 30. Cerqueu un nombre que pugui tenir en compte els tres termes ("màxim factor comú" o MCD). En aquest cas, el MCD és 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Així, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Podem diferenciar el nou trinomi seguint els passos de la secció anterior. La nostra resposta final serà (3) (x-2) (x + 5).

Pas 2. Cerqueu factors més complicats

De vegades, el factoratge pot implicar una variable o pot ser que hagueu de tenir en compte diverses vegades per trobar l’expressió més senzilla possible. Aquests són alguns exemples:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 anys)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• No us oblideu de refactoritzar el nou trinomi, seguint els passos del mètode 1. Comproveu el vostre treball i busqueu exemples de problemes similars a les preguntes de mostra que hi ha a la part inferior d'aquesta pàgina.

Pas 3. Resoldre problemes amb un número davant de x².

Alguns trinomis quadràtics no es poden reduir al problema més fàcil. Apreneu a resoldre problemes com ara 3x² + 10x + 8 i, a continuació, practiqueu tot sol amb les preguntes de mostra al final d'aquesta pàgina:

• Establiu la nostra resposta a ser: (_ _)(_ _)
• Els nostres "primers" termes tindran cadascun una x i multiplicar-los donarà 3x². Només hi ha una possibilitat: (3x _) (x _).
• Enumereu els factors de 8. Les probabilitats són 1 vegades 8 o 2 vegades 4.
• Proveu aquesta possibilitat utilitzant els termes externs i interiors. Tingueu en compte que l’ordre dels factors és molt important perquè el terme exterior es multiplica per 3x en lloc de x. Proveu totes les possibilitats fins que obtingueu Out + In = 10x (a partir del problema original):
• (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no
• (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no
• (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x sí. Aquest és el factor correcte.

Pas 4. Feu servir la substitució de trinomis d’ordre superior

El vostre llibre de matemàtiques us pot sorprendre amb equacions amb altes potències, com ara x⁴, fins i tot després d'utilitzar la factoring simple per facilitar el problema. Proveu de substituir una variable nova que la converteixi en un problema que sabeu resoldre. Per exemple:

• x⁵+ 13x³+ 36x
• = (x) (x⁴+ 13x²+36)
• Creem una nova variable. Diguem y = x² i posar-hi:
• (x) (y²+ 13 anys + 36)
• = (x) (y + 9) (y + 4). Ara, converteix-lo de nou a la variable inicial:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Mètode 3 de 3: Factoring de casos especials

Pas 1. Cerqueu nombres primers

Mireu si la constant del primer o tercer terme del trinomi és un nombre primer. Un nombre primer només és divisible per si mateix i 1, de manera que només hi ha un possible parell de factors binomials.

• Per exemple, a x² + 6x + 5, 5 és un nombre primer, de manera que el binomi ha de tenir la forma (_ 5) (_ 1).
• En el problema de 3x²+ 10x + 8, 3 és un nombre primer, de manera que el binomi ha de tenir la forma (3x _) (x _).
• Per a preguntes 3x²+ 4x + 1, tant el 3 com l’1 són nombres primers, de manera que l’única solució possible és (3x + 1) (x + 1). (Encara hauríeu de multiplicar aquest número per comprovar la vostra resposta, ja que algunes expressions no es poden tenir en compte, per exemple, 3x²+ 100x + 1 no té cap factor.)

Pas 2. Esbrineu si el trinomi és un quadrat perfecte

Un trinomi quadrat perfecte es pot dividir en dos binomis idèntics, i el factor sol escriure's com (x + 1)² i no (x + 1) (x + 1). A continuació, es mostren alguns exemples que solen aparèixer a les preguntes:

• x²+ 2x + 1 = (x + 1)², i x²-2x + 1 = (x-1)²
• x²+ 4x + 4 = (x + 2)², i x²-4x + 4 = (x-2)²
• x²+ 6x + 9 = (x + 3)², i x²-6x + 9 = (x-3)²
• Trinomi quadrat perfecte en forma de x² + bx + c sempre té termes a i c que són quadrats perfectes positius (com ara 1, 4, 9, 16 o 25) i un terme b (positiu o negatiu) que és igual a 2 (√a * √c).

Pas 3. Esbrineu si un problema no té solució

No es poden tenir en compte tots els trinomis. Si no podeu factoritzar un trinomi quadràtic (ax²+ bx + c), utilitzeu la fórmula quadràtica per trobar la resposta. Si l’única resposta és l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, no hi ha una solució de nombre real, el problema no té factors.

Per a trinomis no quadrats, utilitzeu el criteri Eisenstein, que es descriu a la secció Consells

Respostes i preguntes de mostra

1. Respostes a preguntes sobre "factoring complicat".

   Són preguntes del pas dels "factors més complicats". Hem simplificat els problemes en problemes més senzills, així que intenteu resoldre'ls seguint els passos del mètode 1 i, a continuació, consulteu el vostre treball aquí:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Proveu problemes de factoring més complexos.

   Aquests problemes tenen el mateix factor en cada terme que primer s’ha de tenir en compte. Bloqueja els espais en blanc després del signe igual per veure les respostes i així pots comprovar el teu treball:

   • 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) bloqueja el buit per veure la resposta
   • -5x³y²+ 30x²y²-25 anys²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)

3. Practicar l’ús de preguntes. Aquests problemes no es poden incloure en equacions més fàcils, de manera que haurà de trobar la resposta en el formulari (_x + _) (_ x + _) mitjançant proves i errors:

   • 2x²+ 3x-5 = (2x + 5) (x-1) bloc per veure la resposta
   • 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Consell: és possible que vulgueu provar més d'un parell de factors durant 9 vegades.)

   Consells

   • Si no podeu esbrinar com factoritzar un trinomi quadràtic (ax²+ bx + c), podeu utilitzar la fórmula quadràtica per trobar x.

   • Tot i que no cal saber com fer-ho, podeu utilitzar els criteris d’Eisenstein per determinar ràpidament si no es pot simplificar i tenir en compte un polinomi. Aquest criteri s'aplica a qualsevol polinomi, però s'utilitza millor per a trinomis. Si hi ha un nombre primer p que divideix els dos últims termes de manera uniforme i compleix les condicions següents, el polinomi no es pot simplificar:

     • Els termes constants (sense variables) són múltiples de p però no múltiples de p².
     • El prefix (per exemple, a in ax²+ bx + c) no és múltiple de p.
     • Per exemple, 14x² + 45x +51 no es pot simplificar perquè hi ha un nombre primer (3) que pot ser divisible per 45 i 51, però no divisible per 14, i 51 no és divisible per 3².

   Advertiment

   Tot i que això és cert per als trinomis quadràtics, el trinomi que es pot tenir en compte no és necessàriament el producte de dos binomis. Per exemple, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).