3 maneres de calcular la velocitat instantània

Taula de continguts:

3 maneres de calcular la velocitat instantània
3 maneres de calcular la velocitat instantània

Vídeo: 3 maneres de calcular la velocitat instantània

Vídeo: 3 maneres de calcular la velocitat instantània
Vídeo: Como hacer tus propios stencils o Plantillas / Make your own stencils 2024, Març
Anonim

La velocitat es defineix com la velocitat d’un objecte en una direcció determinada. En moltes situacions, per trobar la velocitat, podem utilitzar l’equació v = s / t, on v és igual a velocitat, s és igual a la distància total que l’objecte s’ha mogut de la seva posició inicial i t és igual a temps. No obstant això, aquest mètode només dóna el valor de la velocitat "mitjana" de l'objecte sobre el seu desplaçament. Mitjançant el càlcul es pot calcular la velocitat d’un objecte en qualsevol punt del seu desplaçament. Aquest valor s'anomena "velocitat instantània" i es pot calcular mitjançant l'equació v = (ds) / (dt)o, en altres paraules, és la derivada de l'equació de la velocitat mitjana de l'objecte.

Pas

Mètode 1 de 3: càlcul de la velocitat instantània

Calculeu la velocitat instantània Pas 1
Calculeu la velocitat instantània Pas 1

Pas 1. Comenceu amb l'equació de la velocitat de desplaçament de l'objecte

Per obtenir el valor de la velocitat instantània d’un objecte, primer hem de tenir una equació que descrigui la seva posició (en termes del seu desplaçament) en un moment determinat del temps. Això significa que l’equació ha de tenir una variable s (que es troba sol) per un costat, i t d'altra banda (però no necessàriament independent), així:

s = -1,5 t2+ 10t + 4

  • A l'equació, les variables són:

    Desplaçament = s. Aquesta és la distància recorreguda per l’objecte des del seu punt de partida. Per exemple, si un objecte viatja 10 metres endavant i 7 metres enrere, la distància total recorreguda és de 10-7 = 3 metres (no 10 + 7 = 17 metres).

    Temps = t. Aquesta variable s’explica per si mateixa. Normalment s’expressa en segons. # Agafeu la derivada de l'equació. La derivada d’una equació és una altra equació que pot donar el valor del pendent des d’un punt determinat. Per trobar la derivada de la fórmula per al desplaçament d'un objecte, obtingueu la funció mitjançant la següent regla general: Si y = a * x , Derivada = a * n * xn-1. Aquesta regla s'aplica a qualsevol component que estigui al costat "t" de l'equació.

    Calculeu la velocitat instantània Pas 2
    Calculeu la velocitat instantània Pas 2
  • Dit d’una altra manera, comenceu per descendir pel costat “t” de l’equació d’esquerra a dreta. Cada vegada que arribeu al valor "t", resteu 1 del valor de l'exponent i multipliqueu el conjunt per l'exponent original. Totes les constants (variables que no contenen "t") es perdran perquè es multipliquen per 0. Aquest procés no és tan difícil com es podria pensar, derivem l'equació del pas anterior com a exemple:
  • s = -1,5 t2+ 10t + 4

    (2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0

    -3t1 + 10t0

    - 3t + 10

Calculeu la velocitat instantània Pas 3
Calculeu la velocitat instantània Pas 3

Pas 2. Substituïu la variable "s" per "ds / dt

"Per mostrar que la vostra nova equació és la derivada de l'equació anterior, substituïu" s "per" ds / dt ". Tècnicament, aquesta notació significa" derivada de s respecte a t ". Una manera més senzilla d'entendre això és que ds / dt és el valor de la pendent (pendent) en qualsevol punt de la primera equació, per exemple, per determinar el pendent d'una línia traçada a partir de l'equació s = -1,5t2 + 10t + 4 a t = 5, podem connectar el valor "5" a l'equació de derivades.

  • A l'exemple utilitzat, la primera equació de derivades seria ara:
  • ds / seg = -3t + 10

Calculeu la velocitat instantània Pas 4
Calculeu la velocitat instantània Pas 4

Pas 3. Connecteu el valor de t a la nova equació per obtenir el valor de velocitat instantània

Ara que teniu l’equació derivada, és fàcil trobar la velocitat instantània en qualsevol punt. Tot el que heu de fer és escollir un valor per t i connectar-lo a l’equació de derivades. Per exemple, si voleu trobar la velocitat instantània a t = 5, podeu substituir el valor de t per "5" a l'equació derivada ds / dt = -3 + 10. A continuació, resoleu l'equació així:

ds / seg = -3t + 10

ds / seg = -3 (5) + 10

ds / seg = -15 + 10 = - 5 metres / segon

Tingueu en compte que la unitat utilitzada anteriorment és "metre / segon". Com que el que calculem és el desplaçament en metres i el temps en segons (segons) i la velocitat en general és el desplaçament en un temps determinat, aquesta unitat és adequada d’utilitzar

Mètode 2 de 3: estimació gràfica de la velocitat instantània

Calculeu la velocitat instantània Pas 5
Calculeu la velocitat instantània Pas 5

Pas 1. Dibuixa un gràfic del desplaçament de l'objecte al llarg del temps

A la secció anterior, la derivada s'esmenta com la fórmula per trobar el pendent en un punt determinat de l'equació que esteu derivant. De fet, si representeu el desplaçament d'un objecte com una línia en un gràfic, "el pendent de la línia en tots els punts és igual al valor de la seva velocitat instantània en aquest punt".

  • Per descriure el desplaçament d’un objecte, utilitzeu x per representar el temps i y per representar el desplaçament. A continuació, dibuixeu els punts, connectant el valor de t a la vostra equació, obtenint així el valor de s per al vostre gràfic, marqueu t, s al gràfic com (x, y).
  • Tingueu en compte que el gràfic pot abastar-se per sota de l'eix x. Si la línia que representa el moviment de l'objecte arriba per sota de l'eix x, vol dir que l'objecte s'ha mogut cap enrere des de la seva posició inicial. En general, el gràfic no arribarà a la part posterior de l'eix y, ja que no mesurem la velocitat d'un objecte que es mou.
Calculeu la velocitat instantània Pas 6
Calculeu la velocitat instantània Pas 6

Pas 2. Seleccioneu un punt adjacent P i Q a la línia

Per obtenir el pendent de la línia en un punt P, podem utilitzar un truc anomenat "prendre el límit". Prendre el límit implica dos punts (P i Q, un punt proper) a la línia corba i trobar el pendent de la línia connectant-los moltes vegades fins que les distàncies P i Q s’acosten.

Suposem que la línia de desplaçament de l'objecte conté els valors (1, 3) i (4, 7). En aquest cas, si volem trobar el pendent en el punt (1, 3), podem determinar (1, 3) = P i (4, 7) = Q.

Calculeu la velocitat instantània Pas 7
Calculeu la velocitat instantània Pas 7

Pas 3. Cerqueu el pendent entre P i Q

El pendent entre P i Q és la diferència en els valors y de P i Q al llarg de la diferència del valor de l'eix x per P i Q. En altres paraules, H = (yQ - iPàg) / (xQ - xPàg), on H és el pendent entre els dos punts. En el nostre exemple, el valor del pendent entre P i Q és

H = (yQ- iPàg) / (xQ- xPàg)

H = (7 - 3) / (4 - 1)

H = (4) / (3) = 1.33

Calculeu la velocitat instantània Pas 8
Calculeu la velocitat instantània Pas 8

Pas 4. Repetiu diverses vegades, apropant Q a P

El vostre objectiu és reduir la distància entre P i Q per semblar-se a un punt. Com més propera sigui la distància entre P i Q, més propera serà la inclinació de la línia en el punt P. Feu-ho diverses vegades amb l’equació que s’utilitza com a exemple, utilitzant els punts (2, 4,8), (1,5, 3,95) i (1,25, 3.49) com a Q i el punt inicial (1, 3) com a P:

Q = (2, 4,8):

H = (4,8 - 3) / (2 - 1)

H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)

H = (, 95) / (. 5) = 1.9

Q = (1,25, 3,49):

H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)

H = (, 49) / (. 25) = 1.96

Calculeu la velocitat instantània Pas 9
Calculeu la velocitat instantània Pas 9

Pas 5. Calculeu el pendent de la línia per a una distància molt petita

A mesura que Q s’acosta a P, H s’acosta cada cop més al valor del pendent del punt P. Finalment, quan arriba a un valor molt petit, H és igual al pendent de P. Com que no podem mesurar ni calcular distàncies molt petites, només podem estimar el pendent de P després que quedi clar des del punt que estem intentant.

  • A l'exemple, a mesura que ens acostem Q a P, obtenim valors d'1,8, 1,9 i 1,96 per H. Com que aquests nombres són propers a 2, podem dir que 2 és el pendent aproximat de P.
  • Recordeu que el pendent en qualsevol punt de la recta és igual a la derivada de l'equació de la recta. Com que la línia utilitzada mostra el desplaçament d’un objecte al llarg del temps, i perquè, com hem vist a l’apartat anterior, la velocitat instantània d’un objecte és la derivada del seu desplaçament en un punt determinat, també podem afirmar que "2 metres / segon "és el valor aproximat de la velocitat instantània a t = 1.

Mètode 3 de 3: preguntes de mostra

Calculeu la velocitat instantània Pas 10
Calculeu la velocitat instantània Pas 10

Pas 1. Trobeu el valor de la velocitat instantània a t = 4, a partir de l’equació de desplaçament s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.

Aquest problema és el mateix que l’exemple de la primera part, excepte que aquesta equació és una equació de cubs, no una equació de potència, de manera que podem resoldre aquest problema de la mateixa manera.

  • En primer lloc, prenem la derivada de l'equació:
  • s = 5t3- 3t2+ 2t + 9

    s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1

    15t(2) - 6t(1) + 2t(0)

    15t(2) - 6t + 2

  • A continuació, introduïu el valor de t (4):
  • s = 15t(2)- 6t + 2

    15(4)(2)- 6(4) + 2

    15(16) - 6(4) + 2

    240 - 24 + 2 = 22 metres / segon

Calculeu la velocitat instantània Pas 11
Calculeu la velocitat instantània Pas 11

Pas 2. Utilitzeu una estimació gràfica per trobar la velocitat instantània a (1, 3) per a l'equació de desplaçament s = 4t2 - t.

Per a aquest problema, utilitzarem (1, 3) com a punt P, però hem de definir un altre punt adjacent a aquest punt com a punt Q. Aleshores només hem de determinar el valor de H i fer una estimació.

  • En primer lloc, trobeu primer el valor de Q a t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
  • s = 4t2- t

    t = 2:

    s = 4 (2)2- (2)

    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, per tant Q = (2, 14)

    t = 1,5:

    s = 4 (1,5)2 - (1.5)

    4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, per tant Q = (1,5, 7,5)

    t = 1,1:

    s = 4 (1,1)2 - (1.1)

    4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, per tant Q = (1,1, 3,74)

    t = 1,01:

    s = 4 (1,01)2 - (1.01)

    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, per tant Q = (1,01, 3,0704)

  • A continuació, determineu el valor de H:
  • Q = (2, 14):

    H = (14 - 3) / (2 - 1)

    H = (11) / (1) =

    Pas 11.

    Q = (1,5, 7,5):

    H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)

    H = (4,5) / (. 5) =

    Pas 9.

    Q = (1.1, 3.74):

    H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)

    H = (.74) / (. 1) = 7.3

    Q = (1,01, 3,0704):

    H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)

    H = (.0704) / (. 01) = 7.04

  • Com que el valor de H és molt proper a 7, podem afirmar-ho 7 metres / segon és la velocitat instantània aproximada a (1, 3).

Consells

  • Per trobar el valor de l’acceleració (canvi de velocitat al llarg del temps), utilitzeu el mètode de la primera secció per obtenir l’equació de la derivada de la funció de desplaçament. A continuació, creeu de nou l'equació derivada, aquesta vegada a partir de la vostra equació derivada. Això us donarà l’equació per trobar l’acceleració en un moment donat, tot el que heu de fer és introduir el vostre valor de temps.
  • L'equació que relaciona el valor de Y (desplaçament) amb X (temps) pot ser molt senzilla, per exemple Y = 6x + 3. En aquest cas, el valor del pendent és constant i no cal trobar la derivada per calcular-lo, on segons l’equació d’una recta, Y = mx + b serà igual a 6.
  • El desplaçament és similar a la distància, però té una direcció, de manera que el desplaçament és una quantitat vectorial, mentre que la distància és una quantitat escalar. El valor del desplaçament pot ser negatiu, però la distància sempre serà positiva.

Recomanat: