6 maneres de calcular el volum

2024 Autora: Jason Gerald | [email protected]. Última modificació: 2024-01-15 08:11

El volum d’un objecte representa l’espai tridimensional que ocupa l’objecte. També podeu pensar en el volum com la quantitat d’aigua (o aire, sorra, etc.) que pot contenir una forma si la forma està completament plena. La unitat que s’utilitza habitualment per al volum és el centímetre cúbic (cm³), metres cúbics (m³), polzades cúbiques (in³), i peus cúbics (peus³). Aquest article us ensenyarà a calcular els volums de sis formes tridimensionals diferents que sovint es troben als exàmens de matemàtiques, inclosos cubs, esferes i cons. És possible que observeu que moltes d’aquestes fórmules de volum comparteixen alguna cosa en comú perquè siguin fàcils de recordar. Mireu si ho podeu esbrinar!

Informació d'un cop d'ull: càlcul del volum de formularis comuns

1. Per a un cub o quadrat sòlid, mesureu la longitud, l'amplada i l'alçada i, a continuació, multipliqueu-los tots junts per obtenir el volum. Veure imatges i detalls.
2. Mesureu l’alçada del tub i el seu radi de base. Utilitzeu aquest radi per trobar l’àrea base mitjançant la fórmula r², després multipliqueu el resultat per l'alçada del tub. Veure imatges i detalls.
3. Una piràmide estàndard té un volum igual a x àrea base x alçada. Veure imatges i detalls.
4. El volum d’un con es pot calcular mitjançant la fórmula r²h, on r és el radi de la base i h és l’alçada del con. Veure imatges i detalls.

5. Per mesurar el volum d’una esfera, només cal que el seu radi r. Connecteu aquest valor a la fórmula ⁴/₃r³. Veure imatges i detalls.

   Pas

   Mètode 1 de 6: càlcul del volum d'un cub

   

   Pas 1. Conegueu la forma d’un cub

   Un cub és una forma tridimensional que té sis costats quadrats de mida igual. En altres paraules, un cub és una caixa amb tots els costats de la mateixa mida.

   Un dau de 6 cares és un exemple de cub que podeu trobar a casa vostra. Els blocs de sucre i els blocs de lletres de joguina per a nens també solen ser daus

   

   Pas 2. Apreneu la fórmula del volum d'un cub

   La fórmula és simple V = s3, on V representa el volum i s representa la longitud del costat del cub.

   Per trobar s³, multipliqueu a pel seu propi valor 3 vegades: s³ = s * s * s

   

   Pas 3. Mesureu la longitud d’un costat del cub

   Depenent de la vostra tasca, és possible que el cub ja tingui aquesta informació subtitulada, o bé haureu de mesurar la longitud dels costats amb una regla. Tingueu en compte que, com que es tracta d’un cub, totes les longituds dels costats seran iguals, de manera que no importa de quin costat mesureu.

   Si no esteu 100% segur que la forma que teniu és un cub, mida cada costat per veure si té la mateixa mida. Si no són el mateix, heu d’utilitzar el mètode següent per calcular el volum de blocs

   

   Pas 4. Connecteu les longituds laterals a la fórmula V = s³ i compta.

   Per exemple, si la longitud dels costats del cub és de 5 polzades, escrivireu la fórmula així: V = (5 polzades)³. 5 polzades * 5 polzades * 5 polzades = 125 polzades³, aquest és el volum del nostre cub!

   

   Pas 5. Expressa el resultat en unitats cúbiques

   A l'exemple anterior, les longituds laterals del nostre cub es mesuren en polzades, de manera que la unitat de volum és en polzades cúbiques. Si la longitud del costat és de 3 centímetres, per exemple, el volum és V = (3 cm)³, o V = 27 cm³.

   Mètode 2 de 6: càlcul del volum de blocs

   

   Pas 1. Conegueu la forma d’un bloc

   Un bloc, també anomenat prisma rectangular, és una forma tridimensional amb sis costats que són tots rectangulars. En altres paraules, el bloc és una forma rectangular tridimensional o la forma d’una caixa.

   Un cub és només un bloc especial amb tots els costats de la mateixa mida

   

   Pas 2. Apreneu la fórmula per calcular el volum d’un cuboide

   La fórmula del volum d’un cuboide és Volum = longitud * amplada * alçada o V = plt.

   

   Pas 3. Cerqueu la longitud del bloc

   Aquesta longitud és la part més llarga del costat d’una biga que és paral·lela a la superfície sobre la qual es col·loca la biga. Aquesta longitud ja es pot indicar al diagrama o potser haureu de mesurar-la amb una regla o una cinta mètrica.

   • Exemple: la longitud d'aquest bloc és de 4 polzades, de manera que p = 4 polzades.
   • No us preocupeu massa per quin costat és la longitud, l’amplada i l’alçada. Sempre que utilitzeu tres mesures diferents, el resultat final serà el mateix, independentment de com les feu.

   

   Pas 4. Cerqueu l’amplada de la biga

   L'amplada del feix és la mesura del costat més curt del sòlid paral·lel a on es col·loca el feix. Novament, busqueu una etiqueta al gràfic que indiqui l'amplada, o bé mesureu-la amb una regla o una cinta mètrica.

   • Exemple: l'amplada d'aquest bloc és de 3 polzades, de manera que l = 3 polzades.
   • Si mesureu blocs amb una regla o cinta mètrica, assegureu-vos de fer-ho amb les mateixes unitats. No mesureu un costat en polzades i l’altre en centímetres; totes les mesures han d'utilitzar les mateixes unitats.

   

   Pas 5. Cerqueu l'alçada del bloc

   Aquesta alçada és la distància des de la superfície de la biga col·locada fins a la part superior de la biga. Cerqueu la informació d’alçada al gràfic o mesureu-vos amb una regla o una cinta mètrica.

   Exemple: l'alçada d'aquest bloc és de 6 polzades, de manera que t = 6 polzades

   

   Pas 6. Connecteu les mesures de cuboides a la fórmula del volum i calculeu-les

   Recordeu que V = plt.

   En el nostre exemple, p = 4, l = 3 i t = 6. Per tant, V = 4 * 3 * 6 o 72

   

   Pas 7. Assegureu-vos que anoteu el resultat en unitats cúbiques

   Com que el nostre bloc de mostra es mesura en polzades, el seu volum s'ha d'escriure com a 72 polzades cúbiques o 72 polzades³.

   Si les mesures del nostre cuboide són: longitud = 2 cm, amplada = 4 cm i alçada = 8 cm, el volum del bloc és de 2 cm * 4 cm * 8 cm o 64 cm³.

   Mètode 3 de 6: càlcul del volum del tub

   

   Pas 1. Identifiqueu la forma d’un tub

   Un tub és una forma tridimensional amb dos extrems plans idèntics de forma circular i un costat corbat que uneix els dos.

   Una llauna és un exemple de tub, igual que les bateries AA o AAA

   

   Pas 2. Recordeu la fórmula del volum d’un cilindre

   Per calcular el volum d’un cilindre, cal conèixer l’alçada i el radi del cercle base (la distància des del centre del cercle fins a les vores) a la part superior i inferior. La fórmula és V = r²t, on V és el volum, r és el radi del cercle base, t és l’altura i és el valor constant de pi.

   • En alguns problemes de geometria, la resposta serà sobre pi, però en la majoria dels casos, podem arrodonir pi a 3, 14. Confirmeu-ho amb el vostre instructor per veure quin prefereix.
   • La fórmula per trobar el volum d’un cilindre és en realitat molt similar a la fórmula per al volum d’un cuboide: només heu de multiplicar l’alçada de la forma per la superfície de la base. A la fórmula cuboide, aquesta superfície és p * l, mentre que per a un cilindre és r², és a dir, l'àrea d'un cercle amb radi r.

   

   Pas 3. Cerqueu el radi base

   Si es dóna al diagrama, utilitzeu el valor. Si es dóna el diàmetre en lloc del radi, tot el que heu de fer és dividir per 2 per esbrinar el valor del radi (d = 2r).

   

   Pas 4. Mesureu l'objecte si no es dóna un radi

   Tingueu en compte que mesurar el tub amb precisió pot ser bastant difícil. Una manera és mesurar la part inferior del tub apuntant cap amunt amb una regla o una cinta mètrica. Feu el possible per mesurar l’amplada del cilindre al màxim i dividiu-la per 2 per trobar el radi.

   • Una altra opció per mesurar la circumferència d’un tub (la distància que l’envolta) és utilitzar una cinta mètrica o un tros de corda que pugueu marcar i mesurar la longitud amb una regla. A continuació, connecteu aquesta mesura a la fórmula C (circumferència) = 2πr. Dividiu la circumferència per 2π (6,28) i obtindreu el radi.
   • Per exemple, si la circumferència que mesureu és de 8 polzades, el radi és de 1,27 polzades.
   • Si realment necessiteu mesures precises, podeu utilitzar tots dos mètodes per assegurar-vos que les vostres mesures siguin les mateixes. Si no, comproveu-ne les dues. El mètode de circumferència sol donar resultats més precisos.

   

   Pas 5. Calculeu l'àrea del cercle base

   Connecteu el valor del radi base a la fórmula de r². Després, multipliqueu el radi per si mateix una vegada i, de nou, multipliqueu el resultat per. Com un exemple:

   • Si el radi del cercle és de 4 polzades, l’àrea base és A = 4².
   • 4² = 4 * 4, o 16. 16 * (3,14) = 50,24 polzades²
   • Si es dóna el diàmetre de la base en lloc del radi, recordeu que d = 2r. Només cal dividir el diàmetre per la meitat per trobar el radi.

   

   Pas 6. Cerqueu l’alçada del tub

   Aquesta és la distància entre les dues meitats del cercle o la distància de la superfície sobre la qual es col·loca el tub. Cerqueu una etiqueta al diagrama que indiqui l’alçada del tub o bé mesureu-la amb una regla o una cinta mètrica.

   

   Pas 7. Multipliqueu l'àrea de la base per l'alçada del cilindre per trobar el volum

   O bé podeu ometre un pas i introduir els valors de la dimensió del tub a la fórmula V = r²t. Per al nostre exemple amb un tub que té un radi de 4 polzades i una alçada de 10 polzades:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   Pas 8. Recordeu que heu d’indicar la vostra resposta en unitats cúbiques

   El nostre tub de mostra es mesura en polzades, de manera que el seu volum s’ha d’expressar en polzades cúbiques: V = 502,4 polzades³. Si el nostre cilindre es mesura en centímetres, el seu volum s’expressarà en centímetres cúbics (cm³).

   Mètode 4 de 6: càlcul del volum d’una piràmide ordinària

   

   Pas 1. Comprendre què és una piràmide regular

   Una piràmide és una forma tridimensional amb un polígon com a base i costats laterals que s’uneixen en un eix (el vèrtex de la piràmide). Una piràmide regular és una piràmide on la base és un polígon estàndard, és a dir, que tots els costats del polígon tenen una longitud igual i tots els angles són iguals.

   • Normalment pensem que una piràmide té una base quadrada, amb costats que culminen fins a un punt, però en realitat la base d’una piràmide pot tenir 5, 6 o fins i tot 100 costats.
   • Una piràmide amb una base circular s'anomena con, que es discutirà en el següent mètode.

   

   Pas 2. Apreneu la fórmula per calcular el volum d’una piràmide ordinària

   Aquesta fórmula és V = 1 / 3bt, on b és l'àrea de la base de la piràmide (la forma del polígon que hi ha a sota) i t és l'alçada de la piràmide, o la distància vertical de la base a l'àpex.

   La fórmula per al volum d’una piràmide dreta és la mateixa, on el vèrtex es troba directament sobre el centre de la base, i per a una piràmide oblic, on el vèrtex no es troba al centre

   

   Pas 3. Calculeu l’àrea base

   La fórmula per a això dependrà del nombre de costats que tingui la base d’una piràmide. A la piràmide del nostre diagrama, la base és un quadrat amb els costats de 6 polzades de llarg. Recordeu que la fórmula de l'àrea d'un quadrat és A = s², on s és la longitud del costat. Per tant, per a aquesta piràmide, l'àrea base és (6 polzades) ²o 36 polzades².

   • La fórmula de l’àrea d’un triangle és: A = 1 / 2bt, on b és la base del triangle i t és l’alçada.
   • Podeu trobar l'àrea d'un polígon estàndard mitjançant la fórmula A = 1 / 2pa, on A és l'àrea, p és el perímetre de la forma i a és l'apotema, o la distància des del punt mig de la forma fins al punt mig d’un dels seus costats. Aquest és un càlcul més complex que no tractarem en aquest article, però podeu visitar l'article Càlcul de l'àrea d'un polígon per obtenir bones instruccions sobre com utilitzar-lo. O bé, podeu simplificar aquest procés i buscar una calculadora de polígons en línia.

   

   Pas 4. Cerqueu l’alçada de la piràmide

   En la majoria dels casos, es mostrarà al diagrama. En el nostre exemple, l’alçada de la piràmide és de 10 polzades.

   

   Pas 5. Multipliqueu l'àrea de la base de la piràmide per la seva alçada i dividiu-la per 3 per trobar el volum

   Recordeu que la fórmula del volum és V = 1 / 3bt. En el nostre exemple de piràmide, que té una àrea de 36 i una alçada de 10, el volum és: 36 * 10 * 1/3 o 120.

   Si fem servir una piràmide diferent, per exemple, que té una base en forma de pentago amb una àrea de 26 i una alçada de 8, el volum serà: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33

   

   Pas 6. Recordeu que heu d’indicar la vostra resposta en unitats cúbiques

   Les mesures del nostre exemple de piràmide són en polzades, de manera que el volum s’ha d’expressar en polzades cúbiques, 120. Si la nostra piràmide es mesura en metres, el volum s’ha d’expressar en metres cúbics (m³).

   Mètode 5 de 6: càlcul del volum d’un con

   

   Pas 1. Apreneu la forma del con

   Un con és una forma tridimensional amb una base circular i un vèrtex. Una altra manera de pensar-hi és pensar el con com una piràmide de base circular.

   Si el vèrtex del con es troba exactament al centre del cercle, el con és un "con veritable". Si el vèrtex no es troba exactament al centre, el con es denomina "con oblic". Afortunadament, la fórmula per calcular el volum d’ambdues és la mateixa

   

   Pas 2. Domineu la fórmula per calcular el volum d’un con

   La fórmula és V = 1 / 3πr²t, on r és el radi de la base circular del con, on t és l’alçada, i és la constant pi, que s’arrodoneix fins a 3,14.

   r. part² de la fórmula es refereix a l'àrea de la base del con circular. Per tant, la fórmula per al volum d’un con és 1 / 3bt, igual que la fórmula per al volum d’una piràmide del mètode anterior.

   

   Pas 3. Calculeu l'àrea de la base circular del con

   Per fer-ho, heu de conèixer el radi, que ja hauria d’estar escrit al vostre diagrama. Si només se us proporciona el diàmetre, dividiu aquest valor per 2, perquè el diàmetre és 2 vegades el radi (d = 2r). A continuació, introduïu el valor del radi a la fórmula A = r² per calcular la superfície.

   • A l'exemple del diagrama, el radi de la base del con és de 3 polzades. Quan ho connectem a la fórmula, llavors: A = 3².
   • 3² = 3 * 3, o 0, de manera que A = 9π.
   • A = 28, 27 polzades²

   

   Pas 4. Cerqueu l’alçada del con

   Aquesta és la distància vertical entre la base del con i el seu vèrtex. En el nostre exemple, l’alçada del con és de 5 polzades.

   

   Pas 5. Multipliqueu l'alçada del con per l'àrea de la base

   En el nostre exemple, aquesta àrea fa 28,27 polzades² i l’alçada és de 5 polzades, de manera que bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   Pas 6. Ara multipliqueu el resultat per 1/3 (o podeu dividir per 3) per trobar el volum del con

   En el pas anterior, hem calculat el volum del cilindre que es formaria si les parets del con s’estenessin rectes cap a un altre cercle en lloc de reduir-se fins a un punt. Si es divideix per 3, es obtindrà el volum del con en si.

   • En el nostre exemple, 141, 35 * 1/3 = 47, 12, aquest és el volum del con.
   • Com a alternativa, 1 / 3π3²5 = 47, 12

   

   Pas 7. Recordeu que heu d’indicar la vostra resposta en unitats cúbiques

   El nostre con es mesura en polzades, de manera que el seu volum s’ha d’expressar en polzades cúbiques: 47,12 polzades³.

   Mètode 6 de 6: càlcul del volum d’una pilota

   

   Pas 1. Esbrineu la forma

   Una esfera és un objecte tridimensional perfectament esfèric, on cada punt de la seva superfície es troba a la mateixa distància del seu centre. Dit d’una altra manera, el que s’inclou aquí són objectes esfèrics.

   

   Pas 2. Apreneu la fórmula del volum d'una esfera

   La fórmula del volum d’aquesta esfera és V = 4 / 3πr³ (llegiu: "quatre terços pi r-cube") on r és el radi de l'esfera i és la constant del pin (3, 14).

   

   Pas 3. Trobeu el radi de l'esfera

   Si es dóna el radi, trobar r és només una qüestió fàcil. Si es dóna el diàmetre, heu de dividir per 2 per trobar el valor del radi. Per exemple, el radi de l'esfera del nostre diagrama és de 3 polzades.

   

   Pas 4. Mesureu la pilota si es desconeix el radi

   Si heu de mesurar un objecte esfèric (com ara una pilota de tennis) per trobar-ne el radi, primer agafeu una corda prou gran per embolicar-la. A continuació, feu un bucle al voltant de l'objecte en el punt més ample i marqueu on la corda toca de nou l'extrem. A continuació, mida la corda amb una regla per trobar la seva circumferència exterior. Dividiu aquest valor per 2π, o 6, 28, i obtindreu el radi de l'esfera.

   • Per exemple, si es mesura una esfera i es troba el punt circumferencial de 18 polzades, es divideix per 6,28 i s’obté un radi de 2,87 polzades.
   • Mesurar objectes esfèrics pot ser una mica complicat, així que assegureu-vos de mesurar 3 vegades diferents i de fer la mitjana (sumeu les tres mesures i, a continuació, dividiu per 3) per assegurar-vos que obtingueu el valor més precís.
   • Per exemple, si les mides de la circumferència exterior són 18 polzades, 17,75 polzades i 18,2 polzades, sumeu-les totes (18 + 17,5 + 18, 2 = 53,95) i dividiu el resultat per 3 (53,95 / 3 = 17, 98). Utilitzeu aquesta mitjana en els càlculs de volum.

   

   Pas 5. Cúbic del radi per trobar r³.

   Això vol dir que heu de multiplicar-lo pel nombre mateix 3 vegades, així que r³ = r * r * r. En el nostre exemple, r = 3, de manera que r³ = 3 * 3 * 3 o 27.

   

   Pas 6. Ara multipliqueu la vostra resposta per 4/3

   Podeu utilitzar una calculadora o bé calcular-la manualment i simplificar la fracció. Al nostre exemple, multiplicant 27 per 4/3 = 108/3 o 36.

   

   Pas 7. Multiplicar el resultat per per trobar el volum de l'esfera

   L’últim pas per calcular el volum és multiplicar el resultat per. L’arrodoniment a dos dígits sol ser suficient per a la majoria de problemes matemàtics (tret que el vostre professor digui el contrari), de manera que multipliqueu per 3, 14 i trobareu la resposta.

   En el nostre exemple, 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   Pas 8. Expressa la teva resposta en unitats cúbiques

   En el nostre exemple, el radi de l’esfera es mesura en polzades, de manera que la nostra resposta real és V = 113,09 polzades cúbiques (113,09 polzades).³).