Una fracció complexa és una fracció en què el numerador, el denominador o tots dos contenen també una fracció. Per aquest motiu, de vegades les fraccions complexes es denominen "fraccions apilades". Simplificar fraccions complexes pot ser fàcil o difícil, segons quants nombres hi hagi al numerador i al denominador, si un dels nombres és una variable o la complexitat del nombre variable. Consulteu el pas 1 següent per començar.
Pas
Mètode 1 de 2: Simplificació de fraccions complexes amb multiplicació inversa
Pas 1. Simplifiqueu el numerador i el denominador en una sola fracció si cal
Les fraccions complexes no sempre són difícils de resoldre. De fet, les fraccions complexes el numerador i el denominador de les quals contenen una sola fracció solen ser força fàcils de resoldre. Per tant, si el numerador o denominador (o tots dos) d’una fracció complexa conté múltiples fraccions o fraccions i un nombre enter, simplifiqueu-lo per obtenir una sola fracció tant al numerador com al denominador. Trobeu el múltiple mínim comú (MCM) de dues o més fraccions.
-
Per exemple, suposem que volem simplificar una fracció complexa (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). En primer lloc, simplificarem tant el numerador com el denominador d’una fracció complexa en una sola fracció.
- Per simplificar el numerador, utilitzeu el LCM 15 obtingut multiplicant 3/5 per i 3/3. El numerador serà el 15/9 + 2/15, que equival al 15/11.
- Per simplificar el denominador, utilitzarem el resultat LCM de 70 que s’obté multiplicant 5/7 per 10/10 i 3/10 per 7/7. El denominador serà 50/70 - 21/70, que equival a 29/70.
- Per tant, la nova fracció complexa és (11/15)/(29/70).
Pas 2. Invertiu el denominador per trobar-ne el recíproc
Per definició, dividir un nombre per un altre és el mateix que multiplicar el primer nombre pel recíproc del segon número. Ara que tenim una fracció complexa amb una sola fracció tant al numerador com al denominador, utilitzarem aquesta divisió per simplificar la fracció complexa. En primer lloc, trobeu el recíproc de la fracció al final de la fracció complexa. Feu-ho "invertint" la fracció, posant el numerador en lloc del denominador i viceversa.
-
En el nostre exemple, la fracció del denominador de la fracció complexa (11/15) / (29/70) és 29/70. Per trobar l'invers, el "invertim" de manera que aconseguim 70/29.
Tingueu en compte que si una fracció complexa té un nombre enter al denominador, la podem tractar com una fracció i trobar-ne la recíproca. Per exemple, si la fracció complexa és (11/15) / (29), podem fer el denominador 29/1, el que significa que el recíproc és 1/29.
Pas 3. Multiplicar el numerador de la fracció complexa per la recíproca del denominador
Ara que tenim el recíproc del denominador de la fracció complexa, multipliqueu-lo pel numerador per obtenir una sola fracció simple. Recordeu que per multiplicar dues fraccions, només creuem multiplicar: el numerador de la nova fracció és el nombre del numerador de les dues fraccions antigues, així com el denominador.
En el nostre exemple, multiplicarem el 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 i 15 × 29 = 435. Per tant, la nova fracció simple és 770/435.
Pas 4. Simplifiqueu la nova fracció trobant el màxim factor comú
Ja tenim una fracció simple, de manera que tot el que hem de fer és arribar al nombre més senzill. Trobeu el màxim comú (MCD) del numerador i del denominador i dividiu-los per aquest nombre per simplificar-lo.
Un dels factors comuns de 770 i 435 és 5. Per tant, si dividim el numerador i el denominador de la fracció per 5, obtindrem 154/87. 154 i 87 no tenen factors comuns, per tant, aquesta és la resposta final.
Mètode 2 de 2: Simplificació de fraccions complexes que contenen nombres variables
Pas 1. Si és possible, utilitzeu el mètode de multiplicació inversa anterior
Per quedar clar, gairebé totes les fraccions complexes es poden simplificar restant el numerador i el denominador per una sola fracció i multiplicant el numerador pel recíproc del denominador. També s’inclouen fraccions complexes que contenen variables, tot i que com més complexa sigui l’expressió de les variables en fraccions complexes, més difícil i consumirà temps és fer servir la multiplicació inversa. Per a les fraccions complexes "fàcils" que contenen variables, la multiplicació inversa és una bona opció, però les fraccions complexes amb múltiples nombres variables al numerador i al denominador poden ser més fàcils de simplificar de la manera alternativa que es descriu a continuació.
- Per exemple, (1 / x) / (x / 6) és fàcil de simplificar mitjançant la multiplicació inversa. 1 / x × 6 / x = 6 / x2. Aquí no cal utilitzar mètodes alternatius.
- Tanmateix, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) és més difícil de simplificar mitjançant la multiplicació inversa. Reduir el numerador i el denominador de fraccions complexes a fraccions simples, multiplicar-lo inversament i reduir el resultat als nombres més senzills pot ser un procés complicat. En aquest cas, el mètode alternatiu següent pot ser més fàcil.
Pas 2. Si la multiplicació inversa no és pràctica, comenceu per trobar el MCM del nombre fraccionari a la fracció complexa
El primer pas és trobar el MCM de tots els nombres fraccionats en una fracció complexa, tant al numerador com al denominador. Normalment, si un o més nombres fraccionaris tenen un nombre en el denominador, el MCM és el nombre del denominador.
Això és més fàcil d’entendre amb un exemple. Intentem simplificar les fraccions complexes esmentades anteriorment ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Els nombres fraccionats en aquesta fracció complexa són (1) / (x + 3) i (1) / (x-5). El MCM de les dues fraccions és el nombre del denominador: (x + 3) (x-5).
Pas 3. Multiplicar el numerador de la fracció complexa pel LCM acabat de trobar
A continuació, hem de multiplicar el nombre de la fracció complexa pel MCM del nombre fraccionari. En altres paraules, multiplicarem totes les fraccions complexes per (KPK) / (KPK). Ho podem fer de manera independent perquè (KPK) / (KPK) és igual a 1. En primer lloc, multiplica els propis numeradors.
-
En el nostre exemple, multiplicarem la fracció complexa ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), és a dir (((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Hem de multiplicar pel numerador i el denominador de la fracció complexa, multiplicant cada número per (x + 3) (x-5).
-
En primer lloc, multiplicem els numeradors: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
- = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
- = (x-5) + (x (x.)2 - 2x - 15)) - (10 (x2 - 2x - 15))
- = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150)
- = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150
- = x3 - 12x2 + 6x +145
-
Pas 4. Multiplicar el denominador de la fracció complexa per la MCM com ho faria amb el numerador
Continueu multiplicant la fracció complexa pel LCM trobat procedint al denominador. Multiplicar tots, multiplicar cada nombre pel LCM.
-
El denominador de la nostra fracció complexa, ((((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), és x +4 + ((1) // (x-5)). El multiplicarem pel LCM trobat, (x + 3) (x-5).
- (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
- = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
- = x (x2 - 2x - 15) + 4 (x2 - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
- = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x + 3)
- = x3 + 2x2 - 22x - 57
Pas 5. Creeu una fracció nova i simplificada a partir del numerador i el denominador acabats de trobar
Després de multiplicar la fracció per (KPK) / (KPK) i simplificar-la combinant els nombres, el resultat és una fracció simple que no conté un nombre fraccionari. Tingueu en compte que en multiplicar pel LCM del nombre fraccionari de la fracció complexa original, s’esgotarà el denominador d’aquesta fracció i deixarà el nombre variable i el número enter al numerador i denominador de la resposta, sense fraccions.
Amb el numerador i el denominador trobats anteriorment, podem construir una fracció que és la mateixa que la fracció complexa original, però que no conté el nombre fraccionari. El numerador que es va obtenir és x3 - 12x2 + 6x + 145 i el denominador que vam obtenir va ser x3 + 2x2 - 22x - 57, de manera que la nova fracció esdevé (x3 - 12x2 + 6x + 145) / (x3 + 2x2 - 22x - 57)
Consells
- Mostra tots els passos de la feina. Les fraccions poden ser confuses si els passos es compten massa ràpid o s’intenten fer de memòria.
- Cerqueu exemples de fraccions complexes a Internet o als llibres. Seguiu cada pas fins que es pugui dominar.
