Com derivar funcions implícites: 7 passos (amb imatges)

2024 Autora: Jason Gerald | [email protected]. Última modificació: 2024-01-19 22:11

En càlcul, quan teniu una equació per a escrita en la forma x (per exemple, y = x² -3x), és fàcil utilitzar tècniques bàsiques de derivació (que els matemàtics anomenen tècniques derivades de funció implícita) per trobar la derivada. Tanmateix, per a equacions difícils de construir amb només el terme y en un costat del signe igual (per exemple, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), cal un enfocament diferent. Amb una tècnica anomenada derivades de funcions implícites, és fàcil trobar derivades d’equacions multivariables sempre que es coneguin els fonaments de les derivades de funcions explícites.

Pas

Mètode 1 de 2: derivació ràpida d’equacions simples

Pas 1. Deriveu els termes x com de costum

En intentar derivar una equació multivariable com x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, pot ser difícil saber per on començar. Afortunadament, el primer pas de la derivada d’una funció implícita és el més fàcil. Només cal derivar els termes x i les constants a banda i banda de l’equació segons les regles de les derivades ordinàries (explícites) per començar. Ignora els termes y de moment.

• Intentem derivar un exemple de l'equació simple anterior. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 té dos termes x: x² i -5x. Si volem obtenir una equació, primer hem de fer això, així:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Redueix a la potència de 2 en x² com a coeficient, elimineu x en -5x i canvieu de 19 a 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Pas 2. Deriveu els termes y i afegiu (dy / dx) al costat de cada terme

Per al següent pas, només cal que obtingueu els termes y de la mateixa manera que heu derivat els termes x. Aquesta vegada, però, afegiu (dy / dx) al costat de cada terme, ja que afegiríeu coeficients. Per exemple, si baixeu y², llavors la derivada es converteix en 2y (dy / dx). Ignora els termes que tenen x i y de moment.

• En el nostre exemple, ara la nostra equació té aquest aspecte: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Realitzarem el següent pas per derivar y de la següent manera:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Redueix a la potència de 2 en y² com a coeficients, elimineu y en 8y i poseu dy / dx al costat de cada terme).

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy²= 0

Pas 3. Utilitzeu la regla del producte o la regla del quocient per a termes que tinguin x i y

Treballar amb termes que tinguin xey és una mica complicat, però si coneixeu les regles del producte i el quocient dels derivats, ho trobareu fàcilment. Si es multipliquen els termes xey, utilitzeu la regla del producte ((f × g) '= f' × g + g × f '), substituint el terme x per f i el terme y per g. En canvi, si els termes x i y s’exclouen mútuament, utilitzeu la regla del quocient ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g²), substituint el numerador per f i el denominador per g.

• En el nostre exemple, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy² = 0, només tenim un terme que té x i y - 2xy². Com que x i y es multipliquen entre si, utilitzarem la regla del producte per obtenir el següent:

  2xy² = (2x) (y²) - estableix 2x = f i y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy / dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy / dx)

• Afegint això a la nostra equació principal, aconseguim 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

Pas 4. Sol (dy / dx)

Ja quasi estàs! Ara, tot el que heu de fer és resoldre l’equació (dy / dx). Sembla difícil, però normalment no ho és; recordeu que dos termes a i b es multipliquen per (dy / dx) es poden escriure com (a + b) (dy / dx) a causa de la propietat distributiva de la multiplicació. Aquesta tàctica pot fer més fàcil l'aïllament (dy / dx): només heu de moure tots els altres termes a l'altre costat del parèntesi i, a continuació, dividiu-los pels termes que hi ha al parèntesi al costat de (dy / dx).

• En el nostre exemple, simplifiquem 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0 de la següent manera:

  2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y² + 4xy (dy / dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Mètode 2 de 2: Ús de tècniques avançades

Pas 1. Introduïu el valor (x, y) per trobar (dy / dx) per a qualsevol punt

Caixa forta! Ja heu derivat la vostra equació de manera implícita; no és una feina fàcil al primer intent. Utilitzar aquesta equació per trobar el gradient (dy / dx) per a qualsevol punt (x, y) és tan fàcil com connectar els valors xy del vostre punt al costat dret de l’equació, i després trobar (dy / dx).

• Per exemple, suposem que volem trobar el gradient en el punt (3, -4) per a la nostra exemple d’equació anterior. Per fer-ho, substituirem 3 per x i -4 per y, resolent el següent:

  (dy / dx) = (-2y² - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

  (dy / dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))

  (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))

  (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, o 0, 6875.

Pas 2. Utilitzeu la regla de cadena per a funcions dins de funcions

La regla de la cadena és un coneixement important que s’ha de tenir quan es treballa en problemes de càlcul (inclosos els problemes derivats de funcions implícites). La regla de la cadena estableix que per a una funció F (x) que es pot escriure com (f o g) (x), la derivada de F (x) és igual a f '(g (x)) g' (x). Per a problemes derivats de funció implícita difícils, això significa que és possible derivar les diferents parts individuals de l'equació i, a continuació, combinar els resultats.

• Com a exemple simple, suposem que hem de trobar la derivada del pecat (3x² + x) com a part del problema derivat de la funció implícita més gran per a l'equació sin (3x² + x) + y³ = 0. Si imaginem el pecat (3x² + x) com a f (x) i 3x² + x com g (x), podem trobar la derivada de la següent manera:

  f '(g (x)) g' (x)

  (pecat (3x² + x)) '× (3x² + x)"

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² + x)

Pas 3. Per a equacions amb les variables x, y i z, trobeu (dz / dx) i (dz / dy)

Tot i que no són habituals en el càlcul bàsic, algunes aplicacions avançades poden requerir la derivació de funcions implícites de més de dues variables. Per a cada variable addicional, heu de trobar la seva derivada addicional respecte a x. Per exemple, si teniu x, y i z, hauríeu de buscar tant (dz / dy) com (dz / dx). Ho podem fer derivant l’equació respecte de x dues vegades: primer, introduirem (dz / dx) cada vegada que derivem un terme que conté z i, en segon lloc, inserirem (dz / dy) cada vegada que derivem z. Després d'això, només es tracta de resoldre (dz / dx) i (dz / dy).

• Per exemple, suposem que estem intentant derivar x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• En primer lloc, derivem contra x i introduïm (dz / dx). No oblideu aplicar la regla del producte si cal.

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz / dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz / dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) - 5y⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dx) = 2x - 3x²z² + 5 anys⁵z

  (dz / dx) = (2x - 3x²z² + 5 anys⁵z) / (2x³z - 5xy⁵)

• Ara, feu el mateix per a (dz / dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz / dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz / dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz / dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz / dy) = (3y² + 25xy⁴z) / (2x³z - 5xy⁵)