Cada funció té dues variables, és a dir, la variable independent i la variable dependent. Literalment, el valor de la variable dependent "depèn" de la variable independent. Per exemple, a la funció y = f (x) = 2 x + y, x és la variable independent i y és la variable dependent (en altres paraules, y és una funció de x). Els valors vàlids de la variable coneguda x s'anomenen "dominis d'origen". Els valors vàlids de la variable y coneguda s’anomenen “rang de resultats”.
Pas
Part 1 de 3: Trobar el domini d'una funció
Pas 1. Decidiu quin tipus de funció realitzareu
El domini de la funció són tots els valors x (eix horitzontal) que retornaran valors y vàlids. L'equació de la funció pot ser una quadràtica, una fracció o contenir una arrel. Per calcular el domini de la funció, el primer que heu de fer és examinar les variables de l’equació.
- Una funció quadràtica té la forma ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Alguns exemples de funcions amb fraccions inclouen: f (x) = (1/x), f (x) = (x + 1)/(x - 1), i altres.
- Les funcions que tenen arrels inclouen: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, etc.
Pas 2. Escriviu el domini amb la notació adequada
Escriure el domini d’una funció implica utilitzar claudàtors [,] i claudàtors (,). Utilitzeu claudàtors [,] si el número pertany al domini i utilitzeu claudàtors (,) si el domini no inclou el número. La lletra U indica una unió que connecta parts del domini que poden estar separades per una distància.
- Per exemple, el domini de [-2, 10) U (10, 2] inclou -2 i 2, però no inclou el número 10.
- Utilitzeu sempre parèntesis () si utilitzeu el símbol infinit,.
Pas 3. Dibuixa un gràfic de l’equació de segon grau
Les equacions quadràtiques produeixen un gràfic parabòlic que s’obre cap amunt o cap avall. Tenint en compte que la paràbola continuarà infinita a l'eix de les x, el domini de la majoria de les equacions de segon grau són tots els nombres reals. Dit d'una altra manera, una equació de segon grau inclou tots els valors x de la línia numèrica, donant el domini R (símbol per a tots els nombres reals).
- Per resoldre la funció, trieu qualsevol valor x i introduïu-lo a la funció. Si resoleu una funció amb un valor x, es tornarà un valor y. Els valors de x i y són les coordenades (x, y) d’un gràfic de la funció.
- Representa aquestes coordenades en un gràfic i repeteix el procés amb un altre valor x.
- El traçat d'alguns dels valors d'aquest model us proporcionarà una visió general de la forma de la funció quadràtica.
Pas 4. Si l’equació de la funció és una fracció, feu que el denominador sigui zero
Quan es treballa amb fraccions, mai es pot dividir per zero. En fer el denominador igual a zero i trobar el valor de x, podeu calcular els valors que s’extreuran de la funció.
- Per exemple: Determineu el domini de la funció f (x) = (x + 1)/(x - 1).
- El denominador de la funció és (x - 1).
- Feu el denominador igual a zero i calculeu el valor de x: x - 1 = 0, x = 1.
- Anoteu el domini: el domini de la funció no inclou 1, però inclou tots els nombres reals excepte 1; per tant, el domini és (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) es pot llegir com una col·lecció de tots els nombres reals excepte 1. El símbol de l'infinit, representa tots els nombres reals. En aquest cas, s’inclouen al domini tots els nombres reals superiors a 1 i menors a 1.
Pas 5. Si l’equació és una funció arrel, feu que les variables arrel siguin majors o iguals a zero
No podeu utilitzar l'arrel quadrada d'un nombre negatiu; per tant, qualsevol valor x que condueixi a un nombre negatiu s'ha d'eliminar del domini de la funció.
- Per exemple: Cerqueu el domini de la funció f (x) = (x + 3).
- Les variables de l'arrel són (x + 3).
- Feu que el valor sigui superior o igual a zero: (x + 3) 0.
- Calculeu el valor de x: x -3. Resol per x: x -3.
- El domini de la funció inclou tots els nombres reals majors o iguals a -3; per tant, el domini és [-3,).
Part 2 de 3: Trobar l'abast d'una equació quadràtica
Pas 1. Assegureu-vos que teniu una funció quadràtica
La funció quadràtica té la forma ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. La gràfica de la funció quadràtica és una paràbola que s’obre cap amunt o cap avall. Hi ha diferents maneres de calcular l'abast de la funció en funció del tipus de funció en què estigueu treballant.
La forma més senzilla de determinar l'abast d'altres funcions, com ara una funció arrel o una funció de fracció, és representar gràficament la funció mitjançant una calculadora gràfica
Pas 2. Cerqueu el valor x del vèrtex de la funció
El vèrtex d’una funció quadràtica és el vèrtex de la paràbola. Recordeu, la forma de la funció quadràtica és ax2 + bx + c. Per trobar la coordenada x utilitzeu l'equació x = -b / 2a. L’equació és una derivada d’una funció quadràtica bàsica que representa una equació amb pendent / pendent zero (al vèrtex del gràfic, el gradient de la funció és zero).
- Per exemple, trobeu l'interval de 3x2 + 6x -2.
- Calculeu la coordenada x del vèrtex: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
Pas 3. Calculeu el valor y del vèrtex de la funció
Connecteu la coordenada x a la funció per calcular el valor y corresponent del vèrtex. Aquest valor en y indica el límit del rang de la funció.
- Calculeu la coordenada y: y = 3x2 + 6x - 2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- El vèrtex d’aquesta funció és (-1, -5).
Pas 4. Determineu la direcció de la paràbola endollant almenys un valor x més
Trieu qualsevol altre valor x i connecteu-lo a la funció per calcular el valor y adequat. Si el valor y està per sobre del vèrtex, la paràbola continua fins a + ∞. Si el valor y està per sota del vèrtex, la paràbola continuarà fins a -∞.
- Utilitzeu el valor x -2: y = 3x2 + 6x - 2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Aquest càlcul retorna les coordenades (-2, -2).
- Aquestes coordenades mostren que la paràbola continua per sobre del vèrtex (-1, -5); per tant, l'interval inclou tots els valors y superiors a -5.
- El rang d'aquesta funció és [-5,).
Pas 5. Escriviu el rang amb la notació adequada
Igual que els dominis, els intervals s’escriuen amb la mateixa notació. Utilitzeu claudàtors [,] si el número està dins de l'interval i utilitzeu claudàtors (,) si l'interval no inclou el número. La lletra U indica una unió que connecta parts del rang que poden estar separades per una distància.
- Per exemple, l'interval de [-2, 10) U (10, 2] inclou -2 i 2, però no inclou el número 10.
- Utilitzeu sempre parèntesis si utilitzeu el símbol infinit,.
Part 3 de 3: Trobar l'abast a partir del gràfic d'una funció
Pas 1. Dibuixa la funció
Sovint, la forma més senzilla de determinar l'abast d'una funció és representar-la gràficament. Moltes funcions d'arrel tenen un rang (-∞, 0] o [0, + ∞) perquè el vèrtex de la paràbola horitzontal (paràbola lateral) es troba a l'eix x horitzontal. En aquest cas, la funció inclou tots els valors y positius si s’obre la paràbola o tots els valors y negatius si la paràbola s’obre cap avall. Les funcions fraccionàries tindran asímptotes (línies que mai no es tallen amb una línia recta / corba, sinó que s’acosten a l’infinit) que defineixen l’abast de la funció.
- Algunes funcions arrel començaran per sobre o per sota de l'eix x. En aquest cas, l'interval està determinat pel nombre on s'inicia la funció arrel. Si la paràbola comença per y = -4 i puja, l'interval és [-4, + ∞).
- La forma més senzilla de dibuixar una funció és fer servir un programa gràfic o una calculadora gràfica.
- Si no teniu una calculadora gràfica, podeu dibuixar un esbós aproximat del gràfic connectant el valor x a la funció i obtenint el valor y adequat. Dibuixeu aquestes coordenades en un gràfic per fer-vos una idea de l’aspecte del gràfic.
Pas 2. Cerqueu el valor mínim de la funció
Immediatament després de dibuixar la funció, hauríeu de poder veure clarament el punt més baix del gràfic. Si no hi ha un valor mínim clar, sàpiga que algunes funcions continuaran a -∞ (infinit).
Una funció de fracció inclourà tots els punts excepte els de les assimptotes. La funció té un interval com (-∞, 6) U (6,)
Pas 3. Determineu el valor màxim de la funció
Una vegada més, després de dibuixar el gràfic, hauríeu de poder identificar el punt màxim de la funció. Algunes funcions continuaran a + ∞ i, per tant, no tindran un valor mínim.
Pas 4. Escriviu el rang amb la notació adequada
Igual que els dominis, els intervals s’escriuen amb la mateixa notació. Utilitzeu claudàtors [,] si el número està dins de l'interval i utilitzeu claudàtors (,) si l'interval no inclou el número. La lletra U indica una unió que connecta parts del rang que poden estar separades per una distància.
- Per exemple, l'interval de [-2, 10) U (10, 2] inclou -2 i 2, però no inclou el número 10.
- Utilitzeu sempre parèntesis si utilitzeu el símbol infinit,.
