Tot i que de vegades pot semblar descoratjador, el problema de l’arrel quadrada en realitat no és tan difícil de resoldre. Els problemes simples d’arrel quadrada es poden resoldre tan fàcilment com els problemes bàsics de multiplicació i divisió. Per a preguntes més complexes, cal un petit esforç addicional. Però amb un enfocament adequat, es pot resoldre qualsevol problema difícil. A través d’aquest article, us ajudarem a resoldre problemes d’arrel quadrada en uns quants passos senzills.
Pas
Part 1 de 3: Comprendre els quadrats i les arrels quadrades
Pas 1. El quadrat és el nombre multiplicat pel nombre mateix
Per entendre l’arrel quadrada, és bo entendre primer el significat del quadrat. En poques paraules, un quadrat és un nombre multiplicat pel nombre mateix. Per exemple, 3 al quadrat és 3 vegades 3 = 9 i 9 al quadrat és 9 vegades 9 = 81. El quadrat està representat pel petit 2 situat a la part superior dreta del número al quadrat, així: 32, 92, 1002, etc.
Proveu de quadrar alguns altres números per provar aquest concepte. Recordeu que el quadrat d’un número és multiplicar un nombre per si mateix. Fins i tot podeu quadrar nombres negatius. El resultat sempre serà un nombre positiu. Per exemple, -82 = -8 × -8 = 64.
Pas 2. L'arrel quadrada és la recíproca del quadrat
El símbol de l'arrel quadrada (√, també conegut com a símbol "radical") és essencialment el contrari del símbol 2. Quan trobeu un radical, pregunteu-vos: quin número, si es quadra, donaria lloc al nombre dins del radical? Per exemple, si fixeu-vos en √ (9), trobeu el nombre que, al quadrat, és nou. Per tant, la resposta és "tres", perquè 32 = 9.
-
Com a exemple més, intentem trobar l’arrel quadrada de 25 (√ (25)). És a dir, busquem un número que, al quadrat, el resultat sigui 25. Perquè el 52 = 5 × 5 = 25, llavors (25) =
Pas 5..
-
L'arrel quadrada també es pot considerar "desfer" el quadrat. Per exemple, si volem trobar (64), l’arrel quadrada de 64, pensem en 64 com a 82. Com que el símbol de l'arrel quadrada "nega" essencialment el símbol quadrat, per tant (64) = (82) =
Pas 8..
Pas 3. Conegueu la diferència entre quadrats perfectes i imperfectes
Fins ara, els resultats dels nostres càlculs d’arrels quadrades eren nombres enters. Les preguntes que tindreu més endavant no seran tan fàcils, hi haurà preguntes amb respostes a nombres decimals amb uns quants dígits darrere de la coma. Els números arrodonits després del quadrat (és a dir, no nombres fraccionats ni decimals) també es denominen "quadrats perfectes". Tots els exemples anteriors (9, 25 i 64) són quadrats perfectes perquè, si són quadrats, el resultat és un nombre enter (3, 5 i 8).
D’altra banda, els nombres que no s’arrodoneixen després de ser quadrats són “quadrats imperfectes”. Normalment, després de quadrar el resultat és un nombre fraccionari o decimal. De vegades, fins i tot els números semblen molt complicats, com ara (13) = 3, 605551275464…
Pas 4. Memoritzeu el quadrat dels números 1-12
Com ja sabeu, quadrar un número quadrat perfecte és molt fàcil. Memoritzar els quadrats dels números 1-12 pot ser molt útil perquè aquests números apareixeran molt al problema. D’aquesta manera, estalvieu temps mentre treballa sobre les preguntes. Els primers 12 nombres quadrats són:
-
12 = 1 × 1 =
Pas 1.
-
22 = 2 × 2 =
Pas 4.
-
32 = 3 × 3 =
Pas 9.
-
42 = 4 × 4 =
Pas 16.
-
52 = 5 × 5 =
Pas 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Pas 5. Simplifiqueu l’arrel quadrada eliminant els quadrats perfectes
Trobar l’arrel quadrada d’un número quadrat imperfecte pot ser complicat, sobretot si no utilitzeu una calculadora. Tanmateix, es pot simplificar el nombre al quadrat per facilitar el càlcul. Per fer-ho, només heu de separar el nombre que hi ha dins del radical en diversos factors, i després traieu l’arrel quadrada dels nombres quadrats perfectes i escriviu la resposta fora del radical. Aquest mètode és molt fàcil de fer; per obtenir una millor comprensió, aquí teniu més explicacions:
- Suposem que volem calcular l’arrel quadrada de 900. Per tant, només cal dividir 900 en els seus factors. Els "factors" són nombres que es poden multiplicar junts per produir-ne un altre. Per exemple, el número 6 es pot obtenir multiplicant i 1 × 6 i 2 × 3, de manera que els factors de 6 són 1, 2, 3 i 6.
- Amb aquest principi en ment, desglossem 900 en els seus factors. Per començar, escrivim 900 com a 9 × 100. Com que 9 és un quadrat perfecte, podem prendre l’arrel quadrada de 100 per separat. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). En altres paraules, (900) = 3√(100).
-
Podem simplificar-lo encara més separant 100 en els seus factors, és a dir, 25 i 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Per tant, es pot calcular (900) = 3 (10) =
Pas 30..
Pas 6. Utilitzeu un número imaginari per a l'arrel quadrada d'un nombre negatiu
Penseu, quin nombre si es quadra el resultat és -16? La resposta, no. Tots els nombres al quadrat el resultat sempre és positiu, perquè és negatiu (-), quan es multiplica per negatiu el resultat és positiu (+). Per tant, per quadrar un nombre negatiu, hem de substituir el número negatiu per un nombre imaginari (normalment en forma de lletres o símbols). Per exemple, la variable "i" s'utilitza generalment per a l'arrel quadrada de -1. Un nombre imaginari sempre està a l’arrel quadrada d’un nombre negatiu.
Cal tenir en compte que, tot i que els nombres imaginaris mai es representen per nombres, encara es poden tractar com a nombres de diverses maneres. Per exemple, l’arrel quadrada d’un nombre negatiu es pot quadrar per eliminar l’arrel quadrada. Per exemple, i2 = - 1
Part 2 de 3: utilitzeu l'algorisme d'estil de divisió llarga
Pas 1. Resoleu problemes d’arrel quadrada com problemes de divisió llarga
Tot i que els problemes difícils d’arrel quadrada que consumeixen molt de temps es poden resoldre sense una calculadora. Per fer-ho, utilitzarem un mètode (o algorisme) similar a la divisió de pila llarga.
- Comenceu escrivint el problema de l’arrel quadrada com ho faríeu amb un problema de divisió llarga. Com a problema d’exemple, trobeu l’arrel de 6, 45, que no és un nombre enter. En primer lloc, escrivim el símbol radical (√) i, a continuació, escrivim el número del qual volem fer el quadrat. A continuació, dibuixeu una línia sobre els nombres, igual que una divisió d'apilament llarga. Ara, el símbol "√" sembla que té una cua amb el número 6,45 a la part inferior.
- Escrivirem els números que apareixen a sobre del problema, així que assegureu-vos de deixar un espai en blanc.
Pas 2. Agrupeu les xifres del número en parelles
En primer lloc, agrupeu els dígits del número sota el radical en parelles, començant pel punt decimal. Feu algun tipus de marcador (punt, coma, línia, etc.) entre parells per facilitar el seguiment.
En el problema d'exemple, es dividiran 6, 45 6-, 45-00. Recordeu que hi ha dígits "restants" a l'esquerra; això no és un problema.
Pas 3. Cerqueu el nombre més gran el valor quadrat del qual sigui inferior o igual al primer grup
Comenceu pel primer número del grup de l'esquerra. Trieu el nombre més gran el valor quadrat del qual sigui menor o igual al grup. Per exemple, si el grup té 37 anys, trieu 6 perquè 62 = 36 <37 però 72 = 49> 37. Escriviu aquest número a sobre del primer grup. Aquest número és el primer dígit de la vostra resposta.
-
En el problema de l'exemple, el primer grup de 6-, 45-00 és 6. El nombre més gran que és inferior o igual a 6 quan es quadra és
Pas 2. - 22 = 4. Escriviu el número "2" per sobre de 6 i la cua és un radical.
Pas 4. Multipliqueu el número que acabeu d’anotar, baixeu-lo i resteu-lo
Agafeu el primer dígit de la vostra resposta (escrit a sobre del radical) i multipliqueu-la. Escriviu la resposta sota el primer grup i resteu per trobar la diferència. Deixeu caure el següent grup a la dreta de la diferència que acabeu de calcular. Finalment, escriviu l’últim dígit de multiplicar el primer dígit de la vostra resposta a l’esquerra i deixeu un espai en blanc a la dreta.
En el problema d'exemple, el nombre que es duplica és 2 (el primer dígit de la resposta anterior). 2 × 2 = 4. Després, resteu 4 per 6 (del primer grup). 6 - 4 el resultat és 2. A continuació, reduïu el següent grup (45) i obtenim 245. Finalment, escriviu de nou el número 4 a l'esquerra i deixeu un petit espai a la dreta, així: 4_
Pas 5. Empleneu l'espai en blanc
Afegiu els dígits a la dreta del número que heu escrit a l'esquerra. Trieu el dígit que doni el valor més gran quan es multipliqui per aquest número nou, però encara sigui inferior o igual al "número derivat". Per exemple, si el "número derivat" és 1700 i el número a l'esquerra és 40_, el número que s'hauria d'introduir és "4" perquè 404 × 4 = 1616 <1700, mentre que 405 × 5 = 2025. El nombre que es troba a aquest pas és el segon dígit de la vostra resposta, així que escriviu-lo per sobre del símbol radical.
-
En el problema d’exemple, buscarem el nombre al costat de 4_ × _ la resposta del qual sigui el nombre més gran però inferior o igual a 245. La resposta és
Pas 5.. 45 × 5 = 225, mentre que 46 × 6 = 276.
Pas 6. Continueu utilitzant els números "espai en blanc" per trobar la vostra resposta
Continueu el patró de divisió d'apilament llarg fins que la diferència entre les restes dels nombres que es deriven sigui nul·la o s'obtingui un nombre bastant precís. Quan hàgiu acabat, els números que heu utilitzat per omplir els espais en blanc de cada pas (més el primer número que heu utilitzat) conformen cada dígit de la vostra resposta.
-
En el problema de l’exemple, resteu 245 per 220 per obtenir 20. A continuació, baixarem el següent grup de dígits, 00 i obtindrem 2000. Multiplicem el nombre per sobre del símbol radical i obtindrem 25 × 2 = 50. Per omplir als espais en blanc de 50_ × _ = / <2, 000, obtenim el nombre
Pas 3.. Ara tenim "253" per sobre del símbol radical: repetiu aquest procés de nou i obteniu 9 al següent dígit.
Pas 7. Traieu el signe decimal de l'origen
Per obtenir la resposta final, poseu el punt decimal en la posició correcta. És fàcil: poseu el punt decimal en línia amb el punt decimal a sota del símbol radical. Per exemple, el nombre per sota del radical és 49, 8, de manera que poseu un punt decimal entre els números superiors a 8 i 9.
En el problema de l’exemple, si el número sota el radical és 6, 45, el punt decimal estarà en línia entre els dígits 2 i 5. Això significa que la resposta final és 2, 539.
Part 3 de 3: estima ràpidament els quadrats imperfectes
Pas 1. Cerqueu el quadrat imperfecte fent servir aproximació
Un cop memoritzats els quadrats perfectes, trobar quadrats imperfectes serà molt més fàcil. El truc és trobar un quadrat perfecte abans i després del número que busqueu. A continuació, determineu quin dels dos quadrats perfectes és el més proper al número que busqueu.
Per exemple, volem trobar l’arrel quadrada de 40. El nombre quadrat perfecte abans i després de 40 és 62 i 72, que és 36 i 49. Com que 40 és superior a 36 i inferior a 49, l’arrel quadrada de 40 ha d’estar entre 6 i 7. El número 40 és més proper a 36 que 49, de manera que l’arrel quadrada de 40 és més propera a 6 Aquí hi ha uns quants passos per trobar una resposta precisa.
Pas 2. Calculeu l'arrel quadrada a un dígit després de la coma
Quan heu determinat dos nombres quadrats perfectes abans i després del número que busqueu, la resta és el procés de trobar el número darrere de la coma que és més proper a la resposta. Comenceu amb el número d'un dígit estimat després de la coma. Aquest procés es repetirà fins que obtingueu una resposta amb la precisió que desitgeu.
En el problema d'exemple, l'aproximació raonable de l'arrel quadrada de 40 és 6, 4, perquè és probable que la resposta sigui més propera a 6 que a 7.
Pas 3. Multipliqueu el número estimat pel mateix nombre
En altres paraules, quadra el teu nombre aproximat. Si teniu sort, el resultat serà el número del problema. Si no, seguiu sumant o restant els números després de la coma fins que trobeu el quadrat més proper al número del problema.
- Multiplicar 6, 4 per 6, 4 per obtenir 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, que està lleugerament per sobre dels 40.
- Com que l'experiment inicial era redundant, resteu l'aproximació per un decimal, que és 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Aquest resultat és lleugerament inferior al nombre del problema. Això vol dir que l’arrel quadrada de 40 està entre 6, 3 i 6, 4. Llavors, com que 39,69 és més propera a 40, l’arrel quadrada de 40 també és més propera a 6, 3.
Pas 4. Reenviar la previsió segons sigui necessari
Utilitzeu la vostra resposta si creieu que és prou precisa. Si no, seguiu el patró aproximat anterior fins que trobeu una resposta amb tres o quatre dígits després de la coma, de totes maneres, fins que arribeu al nivell de precisió que desitgeu.
