Les derivades es poden utilitzar per obtenir característiques útils a partir d’un gràfic, com ara valors màxims, mínims, pic, mínim i pendent. Fins i tot el podeu utilitzar per representar gràfiques d’equacions complexes sense una calculadora gràfica. Malauradament, treballar en derivats sovint és tediós, però aquest article us ajudarà amb alguns consells i trucs.
Pas
Pas 1. Comprendre la notació derivada
Les dues notacions següents són les més utilitzades, tot i que moltes altres es poden trobar aquí a la Viquipèdia.
- Notació de Leibniz Aquesta notació és la notació més utilitzada quan l'equació implica y i x. dy / dx significa literalment la derivada de y respecte a x. Podria ser útil considerar-lo com y / Δx per a valors molt diferents de x i y. Aquesta explicació condueix a la definició del límit derivat: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Quan utilitzeu aquesta notació per a la segona derivada, heu d’escriure: d2y / dx2.
- Notació de Lagrange La derivada de la funció f també s'escriu com a f '(x). Aquesta notació llegeix f accentuat x. Aquesta notació és més curta que la de Leibniz i és útil quan es veuen derivades com a funcions. Per formar un grau més gran de derivada, només cal afegir 'a f, de manera que la segona derivada serà f' '(x).
Pas 2. Comprendre el significat de la derivada i els motius del descens
En primer lloc, per trobar el pendent d’un gràfic lineal, es prenen dos punts de la línia i les seves coordenades s’introdueixen a l’equació (y2 - i1) / (x2 - x1). Tot i això, només es pot utilitzar per a gràfics lineals. Per a equacions de segon grau i superiors, la línia serà una corba, de manera que no és molt precís trobar la diferència entre dos punts. Per trobar el pendent de la tangent en un gràfic de corba, es prenen dos punts i es posen a l'equació general per trobar el pendent del gràfic de corba: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx indica delta x, que és la diferència entre dues coordenades x en dos punts del gràfic. Tingueu en compte que aquesta equació és la mateixa que (y2 - i1) / (x2 - x1), només en una forma diferent. Com que se sabia que els resultats serien imprecisos, es va aplicar un enfocament indirecte. Per trobar el pendent de la tangent a (x, f (x)), dx ha de ser proper a 0, de manera que els dos punts dibuixats es fusionin en un punt. Tot i això, no es pot dividir 0, de manera que un cop introduïts els valors de dos punts, haureu d’utilitzar el factoratge i altres mètodes per eliminar dx de la part inferior de l’equació. Un cop fet això, fes dx 0 i ja està. Aquesta és la pendent de la tangent a (x, f (x)). La derivada d’una equació és l’equació general per trobar el pendent de qualsevol tangent en un gràfic. Pot semblar molt complicat, però hi ha alguns exemples a continuació, que ajudaran a explicar com obtenir la derivada.
Mètode 1 de 4: derivats explícits
Pas 1. Utilitzeu una derivada explícita si la vostra equació ja té y per un costat
Pas 2. Connecteu l'equació a l'equació [f (x + dx) - f (x)] / dx
Per exemple, si l'equació és y = x2, la derivada serà [(x + dx)2 - x2] / dx.
Pas 3. Amplieu i elimineu dx per formar l'equació [dx (2x + dx)] / dx
Ara podeu llançar dos dx a la part superior i inferior. El resultat és 2x + dx i, a mesura que dx s’acosta a zero, la derivada és 2x. Això significa que el pendent de qualsevol tangent del gràfic y = x2 és 2x. Només cal que introduïu el valor x del punt per al qual voleu trobar el pendent.
Pas 4. Apreneu patrons per derivar equacions similars
Aquí en teniu alguns exemples.
- Qualsevol exponent és la potència multiplicada pel valor, elevada a la potència inferior a 1. Per exemple, la derivada de x5 és 5x4, i la derivada de x3, 5 iis3, 5x2, 5. Si ja hi ha un número davant de x, multipliqueu-lo per la potència. Per exemple, la derivada de 3x4 és 12x3.
- La derivada de qualsevol constant és zero. Per tant, la derivada de 8 és 0.
- La derivada de la suma és la suma de les derivades respectives. Per exemple, la derivada de x3 + 3x2 és 3x2 + 6x.
- La derivada del producte és el primer factor multiplicat per la derivada del segon factor més el segon factor multiplicat per la derivada del primer factor. Per exemple, la derivada de x3(2x + 1) és x3(2) + (2x + 1) 3x2, que és igual a 8x3 + 3x2.
- La derivada del quocient (per exemple, f / g) és [g (derivada de f) - f (derivada de g)] / g2. Per exemple, la derivada de (x2 + 2x - 21) / (x - 3) és (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Mètode 2 de 4: derivats implícits
Pas 1. Utilitzeu derivades implícites si la vostra equació ja no es pot escriure amb y per un costat
De fet, si escrivís y per un costat, calcular dy / dx seria tediós. Aquí teniu un exemple de com podeu resoldre aquest tipus d’equacions.
Pas 2. En aquest exemple, x2y + 2y3 = 3x + 2y, substituïu y per f (x), de manera que recordareu que y és en realitat una funció.
L’equació esdevé llavors x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Pas 3. Per trobar la derivada d’aquesta equació, obteniu els dos costats de l’equació respecte a x
L’equació esdevé llavors x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Pas 4. Torneu a substituir f (x) per y
Aneu amb compte de no substituir f '(x), que és diferent de f (x).
Pas 5. Cerqueu f '(x)
La resposta d’aquest exemple es converteix en (3 - 2xy) / (x2 + 6 anys2 - 2).
Mètode 3 de 4: derivats d’ordre superior
Pas 1. Derivar una funció d’ordre superior significa que esteu derivant la derivada (a l’ordre 2)
Per exemple, si el problema us demana que obtingueu un tercer ordre, només heu de prendre la derivada de la derivada de la derivada. Per a algunes equacions, la derivada d’ordre superior serà 0.
Mètode 4 de 4: regla de la cadena
Pas 1. Si y és una funció diferencial de z, i z és una funció diferencial de x, y és una funció composta de x, i la derivada de y respecte a x (dy / dx) és (dy / du) * (du / dx)
La regla de la cadena també pot ser una combinació d’equacions de potència, com aquesta: (2x4 - x)3. Per trobar la derivada, només cal pensar-la com la regla de multiplicar. Multiplicar l'equació per la potència i disminuir per 1 a la potència. Després, multipliqueu l'equació per la derivada de l'equació entre parèntesis que fa augmentar la potència (en aquest cas, 2x ^ 4 - x). La resposta a aquesta pregunta és 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Consells
- Sempre que veieu un problema difícil de resoldre, no us preocupeu. Simplement intenteu desglossar-lo en tantes parts més petites com sigui possible aplicant les regles de multiplicació, quocient, etc. A continuació, baixeu cada part.
- Practiqueu amb la regla de multiplicació, la regla del quocient, la regla de la cadena i, sobretot, les derivades implícites, perquè aquestes regles són molt més difícils en el càlcul.
- Compreneu bé la vostra calculadora; proveu les diferents funcions de la calculadora per aprendre a utilitzar-les. És molt útil saber utilitzar tangents i funcions derivades a la calculadora si estan disponibles.
- Recordeu les derivades trigonomètriques bàsiques i com utilitzar-les.
