Dues fraccions són equivalents si tenen el mateix valor. Saber convertir fraccions a les seves formes equivalents és una habilitat matemàtica extremadament important, necessària per a totes les formes matemàtiques, des de l’àlgebra bàsica fins al càlcul avançat. Aquest article proporcionarà diverses maneres de calcular fraccions equivalents des de la multiplicació bàsica i la divisió fins a formes més complexes de resoldre equacions fraccionàries equivalents.
Pas
Mètode 1 de 5: ordenació de fraccions equivalents
Pas 1. Multiplicar el numerador i el denominador pel mateix nombre
Dues fraccions diferents però equivalents tenen, per definició, un numerador i un denominador que són múltiples entre si. En altres paraules, multiplicar el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre produirà fraccions equivalents. Tot i que els números de la nova fracció seran diferents, les fraccions tindran el mateix valor.
- Per exemple, si prenem la fracció 4/8 i multipliquem el numerador i el denominador per 2, obtenim (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Aquestes dues fraccions són equivalents.
- (4 × 2) / (8 × 2) és realment el mateix que 4/8 × 2/2. Recordeu que en multiplicar dues fraccions, estem multiplicant rectes, és a dir, el numerador pel numerador i el denominador pel denominador.
- Tingueu en compte que 2/2 és igual a 1 si feu la divisió. Per tant, és més fàcil entendre per què 4/8 i 8/16 són equivalents perquè multiplicar 4/8 × (2/2) = queda 4/8. De la mateixa manera, és el mateix que dir 4/8 = 8/16.
- Qualsevol fracció donada té un nombre infinit de fraccions equivalents. Podeu multiplicar tant el numerador com el denominador per qualsevol enter, independentment de la mida o de la petita, per obtenir una fracció equivalent.
Pas 2. Divideix el numerador i el denominador pel mateix nombre
Igual que la multiplicació, la divisió també es pot utilitzar per trobar una nova fracció que sigui equivalent a la vostra fracció original. Només cal dividir el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre per obtenir la fracció equivalent. Hi ha un inconvenient en aquest procés: la fracció final ha de tenir enters tant al numerador com al denominador per ser certa.
Per exemple, mirem enrere el 4/8. Si, en lloc de multiplicar, dividim tant el numerador com el denominador per 2, obtenim (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 i 4 són enters, de manera que aquestes fraccions equivalents són certes
Mètode 2 de 5: utilitzar la multiplicació bàsica per determinar la igualtat
Pas 1. Trobeu el nombre que s’ha de multiplicar pel denominador més petit per obtenir el denominador més gran
Molts problemes sobre les fraccions impliquen determinar si dues fraccions són equivalents. En calcular aquest nombre, podeu començar a equiparar els termes fraccionaris per determinar la igualtat.
- Per exemple, reutilitzeu les fraccions 4/8 i 8/16. El denominador més petit és 8 i hem de multiplicar el nombre per 2 per obtenir el denominador més gran, que és 16. Per tant, el nombre en aquest cas és 2.
- Per a nombres més difícils, podeu dividir el denominador més gran pel denominador més petit. En aquest cas, 16 es divideix per 8, que encara en produeix 2.
- El nombre no sempre és un nombre enter. Per exemple, si els denominadors són 2 i 7, el nombre és 3, 5.
Pas 2. Multiplicar el numerador i el denominador de la fracció que té el terme més petit pel nombre del primer pas
Dues fraccions diferents però equivalents tenen, per definició, numerador i denominador que són múltiples els uns dels altres. En altres paraules, multiplicar el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre produirà una fracció equivalent. Tot i que els números d’aquesta nova fracció seran diferents, aquestes fraccions tindran el mateix valor.
Per exemple, si fem servir la fracció 4/8 del primer pas i multipliquem el numerador i el denominador pel nombre que hem definit anteriorment, que és 2, obtindrem (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Aquest resultat demostra que aquestes dues fraccions són equivalents.
Mètode 3 de 5: utilitzar la divisió bàsica per determinar la igualtat
Pas 1. Compteu cada fracció com un nombre decimal
Per a fraccions simples sense variables, podeu representar cada fracció com un nombre decimal per determinar la igualtat. Com que cada fracció és en realitat un problema de divisió, aquesta és la forma més senzilla de determinar la igualtat.
- Per exemple, utilitzeu la fracció que hem utilitzat anteriorment, 4/8. La fracció 4/8 equival a dir 4 dividit per 8, que és 4/8 = 0,5. També podeu resoldre l'altre exemple, que és 8/16 = 0,5. Independentment dels termes d'una fracció, la fracció és equivalent si els dos números són iguals quan es representen en decimal.
- Tingueu en compte que les expressions decimals poden tenir diversos dígits abans que la igualtat sigui evident. Com a exemple bàsic, 1/3 = 0,333 es repeteix mentre que 3/10 = 0,3. Utilitzant més d'un dígit, veiem que aquestes dues fraccions no són equivalents.
Pas 2. Divideix el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre per obtenir una fracció equivalent
Per a fraccions més complexes, el mètode de divisió requereix passos addicionals. Mentre que amb la multiplicació, podeu dividir el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre per obtenir una fracció equivalent. Hi ha un inconvenient en aquest procés. La fracció final ha de tenir nombres enters al numerador i al denominador per ser certa.
Per exemple, mirem enrere el 4/8. Si, en lloc de multiplicar, dividim el numerador i el denominador per 2, obtenim (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 i 4 són enters, de manera que aquestes fraccions equivalents són certes.
Pas 3. Simplifiqueu les fraccions fins als termes més senzills
La majoria de les fraccions s’escriuen normalment en els termes més senzills i podeu convertir les fraccions a la seva forma més simple dividint pel màxim factor comú (MCD). Aquest pas es fa en la mateixa lògica que escriure fraccions equivalents, convertint-les al mateix denominador, però aquest mètode intenta simplificar cada fracció als seus termes més petits possibles.
- Quan una fracció té la forma més simple, el numerador i el denominador tenen els valors més petits possibles. Tots dos no es poden dividir per cap enter per obtenir el valor més petit. Per convertir una fracció que no es troba en la seva forma més simple en la seva forma equivalent més simple, dividim el numerador i el denominador pel seu màxim factor comú.
-
El màxim factor comú (MCD) del numerador i del denominador és el nombre més gran que els divideix per donar un resultat enter. Per tant, al nostre exemple de 4/8, perquè
Pas 4. és el nombre més gran divisible per 4 i 8, dividirem el numerador i el denominador de la nostra fracció per 4 per obtenir els termes més simples. (4 4) / (8 4) = 1/2. Per al nostre altre exemple, 8/16, el MCD és 8, que també retorna el valor 1/2 com a expressió més simple d'una fracció.
Mètode 4 de 5: utilitzar productes creuats per trobar variables
Pas 1. Ordeneu les dues fraccions de manera que siguin iguals entre si
Utilitzem la multiplicació creuada per a problemes matemàtics on sabem que les fraccions són equivalents, però un dels nombres s’ha substituït per una variable (normalment x) que hem de resoldre. En casos com aquest, sabem que aquestes fraccions són equivalents perquè són els únics termes de l’altra banda del signe igual, però sovint la manera de trobar la variable no és obvia. Afortunadament, amb la multiplicació creuada, resoldre aquest tipus de problemes és fàcil.
Pas 2. Agafeu dues fraccions equivalents i multipliqueu-les per una forma "X"
Dit d’una altra manera, multiplica el numerador d’una fracció pel denominador d’una altra fracció i viceversa i, a continuació, organitza les dues respostes perquè coincideixin i resolguin.
Agafeu els nostres dos exemples, el 4/8 i el 8/16. Cap dels dos té una variable, però podem demostrar el concepte perquè ja sabem que són equivalents. Mitjançant la multiplicació creuada, obtenim 4/16 = 8 x 8 o 64 = 64, que és cert. Si aquests dos nombres no són iguals, les fraccions no són equivalents
Pas 3. Afegiu variables
Com que la multiplicació creuada és la forma més senzilla de determinar fraccions equivalents quan heu de trobar variables, afegim variables.
-
Per exemple, fem servir l’equació 2 / x = 10/13. Per creuar multipliquem, multipliquem 2 per 13 i 10 per x, i després establim les nostres respostes iguals entre si:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. A partir d’aquí, trobar la resposta a la nostra variable és un simple problema d’àlgebra. x = 26/10 = 2, 6, fent la fracció equivalent inicial 2/2, 6 = 10/13.
Pas 4. Utilitzeu la multiplicació creuada per a fraccions o expressions de variables múltiples
Una de les millors coses sobre la multiplicació creuada és que en realitat funciona de la mateixa manera, tant si es treballa amb dues fraccions simples (com a l’anterior) com amb fraccions més complexes. Per exemple, si ambdues fraccions tenen variables, només heu d'eliminar aquestes variables en el procés de resolució. De la mateixa manera, si el numerador o denominador de la vostra fracció té una expressió variable (com x + 1), simplement "multipliqueu-la" utilitzant la propietat distributiva i resoleu-la com sempre.
-
Per exemple, fem servir l’equació ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). En aquest cas, com es va esmentar anteriorment, ho resoldrem per producte creuat:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, llavors podem simplificar la fracció restant 2x dels dos costats
- 2 = 2x + 12, llavors aïllem la variable restant 12 dels dos costats
- -10 = 2x, i divideix per 2 per trobar x
- - 5 = x
Mètode 5 de 5: utilitzar fórmules quadràtiques per trobar variables
Pas 1. Creueu les dues fraccions
Per als problemes d’igualtat que requereixen una fórmula quadràtica, encara comencem utilitzant productes creuats. Tanmateix, qualsevol producte creuat que impliqui multiplicar els termes d'una variable pels termes d'una altra variable probablement resultarà en una expressió que no es pot resoldre fàcilment mitjançant l'àlgebra. En casos com aquest, és possible que hàgiu d’utilitzar tècniques com ara el factoratge i / o les fórmules quadràtiques.
-
Per exemple, vegem l’equació ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). En primer lloc, creuem multiplicar:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Pas 2. Escriviu l’equació com una equació de segon grau
En aquesta secció, volem escriure aquesta equació en forma quadràtica (ax2 + bx + c = 0), cosa que fem establint l’equació igual a zero. En aquest cas, restem 12 dels dos costats per obtenir 2x2 - 14 = 0.
Alguns valors poden ser iguals a 0. Tot i que 2x2 - 14 = 0 és la forma més senzilla de la nostra equació, l’equació quadràtica real és 2x2 + 0x + (-14) = 0. Pot ser útil al principi escriure la forma de l'equació quadràtica fins i tot si alguns valors són iguals a 0.
Pas 3. Resoleu connectant els números de la vostra equació quadràtica a la fórmula quadràtica
Fórmula quadràtica (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) ens ajudarà a trobar el nostre valor x en aquesta secció. No tingueu por de la longitud de la fórmula. Simplement heu de prendre els valors de la vostra equació de segon grau al segon pas i posar-los als llocs adequats abans de resoldre'ls.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. A la nostra equació, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 i c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10,58 / 4)
- x = +/- 2, 64
Pas 4. Comproveu la resposta introduint de nou el valor de x a la vostra equació de segon grau
Si torneu a connectar el valor x calculat a l’equació quadràtica del segon pas, podeu determinar fàcilment si heu encertat la resposta. En aquest exemple, connectareu 2, 64 i -2, 64 a l'equació de segon grau original.
Consells
- Convertir una fracció al seu equivalent és en realitat una forma de multiplicar una fracció per 1. En convertir 1/2 a 2/4, multiplicar el numerador i el denominador per 2 és el mateix que multiplicar 1/2 per 2/2, que és igual a 1.
-
Si voleu, convertiu el nombre mixt en una fracció comuna per facilitar la conversió. Per descomptat, no totes les fraccions que trobeu seran tan fàcils com convertir el nostre exemple 4/8 anterior. Per exemple, els números combinats (com ara 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) poden fer que el procés de conversió sigui una mica més complicat. Si heu de convertir un nombre mixt en una fracció comuna, podeu fer-ho de dues maneres: convertint el nombre mixt en una fracció comuna i convertint-lo com sempre, o bé mantenint la forma de nombres mixtos i obtenint respostes en forma de nombres mixtos.
- Per convertir a una fracció comuna, multipliqueu el component enter del nombre mixt pel denominador del component fraccionari i, a continuació, afegiu-lo al numerador. Per exemple, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. A continuació, si ho desitgeu, podeu canviar-lo segons calgui. Per exemple, 5/3 × 2/2 = 10/6, que es manté igual a 1 2/3.
- Tanmateix, no hem de convertir-lo en una fracció comuna com s'ha indicat anteriorment. En cas contrari, deixem el component enter en pau, només canviem el component fraccionari i afegim el component enter sense canvis. Per exemple, per a 3 4/16, només veiem 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Així, en tornar a afegir els nostres components enters, obtenim un nou nombre mixt, 3 1/4.
Advertiment
- La multiplicació i la divisió es poden utilitzar per obtenir fraccions equivalents perquè la multiplicació i la divisió amb la forma fraccionària del número 1 (2/2, 3/3, etc.) donen una resposta que és equivalent a la fracció original, per definició. La suma i la resta no es poden utilitzar.
-
Tot i multiplicar els numeradors i els denominadors quan multiplica les fraccions, no se sumen ni es resten els denominadors quan se sumen o es resten fraccions.
Per exemple, a dalt, sabem que 4/8 4/4 = 1/2. Si sumem el 4/4, obtindrem una resposta completament diferent. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 o bé 3/2, no són iguals a 4/8.
