En un "sistema d'equacions", se us demana que resolgueu dues o més equacions simultàniament. Quan les dues equacions tenen dues variables diferents, per exemple, x i y, la solució pot semblar difícil al principi. Per sort, un cop sabeu què heu de fer, només podeu utilitzar les vostres habilitats algebraiques (i la ciència del càlcul de fraccions) per resoldre el problema. Apreneu també a dibuixar aquestes dues equacions si esteu aprenent visualment o si el professor ho requereix. Els dibuixos us ajudaran a identificar el tema o comprovar els resultats del vostre treball. Tanmateix, aquest mètode és més lent que els altres mètodes i no es pot utilitzar per a tots els sistemes d’equacions.
Pas
Mètode 1 de 3: utilitzar el mètode de substitució
Pas 1. Moveu les variables al costat oposat de l'equació
El mètode de substitució comença per "trobar el valor de x" (o qualsevol altra variable) en una de les equacions. Per exemple, diguem que l’equació del problema és 4x + 2y = 8 i 5x + 3y = 9. Comenceu treballant la primera equació. Reordeneu l'equació restant 2y pels dos costats. Així, s’aconsegueix 4x = 8 - 2y.
Aquest mètode sol utilitzar fraccions al final. Si no us agrada comptar les fraccions, proveu el mètode d’eliminació següent
Pas 2. Divideix els dos costats de l'equació per "trobar el valor de x"
Quan el terme x (o la variable que utilitzeu) estigui sol en un costat de l'equació, dividiu els dos costats de l'equació pels coeficients de manera que només quedi la variable. Com un exemple:
- 4x = 8 - 2y
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Pas 3. Connecteu el valor x de la primera equació a la segona equació
Assegureu-vos de connectar-la a la segona equació, en lloc de la que acabeu de treballar. Substituïu (substituïu) la variable x de la segona equació. Per tant, la segona equació ara només té una variable. Com un exemple:
- És sabut x = 2 - y.
- La vostra segona equació és 5x + 3y = 9.
- Després d'intercanviar la variable x a la segona equació amb el valor x de la primera equació, obtenim "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Pas 4. Resol la resta de variables
Ara, la vostra equació només té una variable. Calculeu l’equació amb operacions algebraiques ordinàries per trobar el valor de la variable. Si les dues variables s’anul·len mútuament, aneu directament a l’últim pas. En cas contrari, obtindreu un valor per a una de les variables:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Si no enteneu aquest pas, apreneu a afegir fraccions.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Pas 5. Utilitzeu la resposta obtinguda per trobar el valor real de x a la primera equació
No us atureu encara perquè els vostres càlculs encara no s’han acabat. Heu de connectar la resposta obtinguda a la primera equació per trobar el valor de les variables restants:
- És sabut y = -2
- Una de les equacions de la primera equació és 4x + 2y = 8. (Podeu utilitzar-ne qualsevol.)
- Substitueix la variable y per -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Pas 6. Sabeu què cal fer si les dues variables es cancel·len
Quan entres x = 3y + 2 o una resposta similar a la segona equació, és a dir, que intenteu obtenir una equació que només tingui una variable. De vegades, només s’obté l’equació sense variable. Comproveu de nou el vostre treball i assegureu-vos que heu posat (reordenat) l'equació primera en la segona, en lloc de tornar a la primera equació. Quan estigueu segur que no heu fet res dolent, escriviu un dels resultats següents:
- Si l'equació no té variables i no és certa (per exemple, 3 = 5), aquest problema no tenen resposta. (Quan es mostra gràficament, aquestes dues equacions són paral·leles i no es troben mai.)
- Si l’equació no té variables i Correcte, (per exemple, 3 = 3), el que significa que té la pregunta respostes il·limitades. L’equació primera és exactament la mateixa que l’equació segona. (Quan es representen en gràfics, aquestes dues equacions són la mateixa línia.)
Mètode 2 de 3: utilitzar el mètode d’eliminació
Pas 1. Cerqueu les variables mútuament excloents
De vegades, l’equació del problema ja és cancel·lar-se mútuament quan es suma. Per exemple, si feu l'equació 3x + 2y = 11 i 5x - 2y = 13, els termes "+ 2y" i "-2y" es cancel·laran i eliminaran la variable "y" de l'equació. Mireu l’equació del problema i vegeu si hi ha variables que s’anul·len, com a l’exemple. Si no, seguiu el pas següent.
Pas 2. Multipliqueu l'equació per una de manera que s'elimini una variable
(Omet aquest pas si les variables ja es cancel·len.) Si l'equació no té variables que es cancel·lin per si soles, canvia una de les equacions perquè es puguin cancel·lar. Mireu els exemples següents per entendre'ls fàcilment:
- Les equacions del problema són 3x - y = 3 i - x + 2y = 4.
- Canviem la primera equació de manera que la variable y cancel·lar-se mútuament. (Podeu utilitzar la variable x. La resposta final obtinguda serà la mateixa.)
- Variable - i a la primera equació s'ha d'eliminar per + 2 anys a la segona equació. Com multiplicar - i amb 2.
- Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2, de la manera següent: 2 (3x - y) = 2 (3), tan 6x - 2y = 6. Ara, tribu - 2 anys es cancel·laran amb + 2 anys a la segona equació.
Pas 3. Combineu les dues equacions
El truc és afegir el costat dret de la primera equació al costat dret de la segona equació i afegir el costat esquerre de la primera equació al costat esquerre de la segona equació. Si es fa correctament, una de les variables es cancel·larà. Intentem continuar el càlcul de l'exemple anterior:
- Les vostres dues equacions són 6x - 2y = 6 i - x + 2y = 4.
- Sumeu els costats esquerres de les dues equacions: 6x - 2y - x + 2y =?
- Sumeu els costats drets de les dues equacions: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Pas 4. Obteniu l'últim valor de variable
Simplifiqueu l'equació composta i treballeu amb l'àlgebra estàndard per obtenir el valor de l'última variable. Si, després de simplificar, l'equació no té variables, continueu fins a l'últim pas d'aquesta secció.
En cas contrari, obtindreu un valor per a una de les variables. Com un exemple:
- És sabut 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Variables de grup x i y junts: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Simplifiqueu l'equació: 5x = 10
- Cerqueu el valor x: (5x) / 5 = 10/5, obtenir x = 2.
Pas 5. Cerqueu el valor d'una altra variable
Heu trobat el valor d’una variable, però, què passa amb l’altra? Connecteu la resposta a una de les equacions per trobar el valor de la variable restant. Com un exemple:
- És sabut x = 2, i una de les equacions del problema és 3x - y = 3.
- Substitueix la variable x per 2: 3 (2) - y = 3.
- Trobeu el valor de y a l’equació: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tan 6 = 3 + y
- 3 = y
Pas 6. Sabeu què cal fer quan les dues variables es cancel·len
De vegades, combinar dues equacions resulta en una equació que no té sentit o que no us ajuda a resoldre el problema. Reviseu el vostre treball i, si esteu segur que no heu fet res dolent, escriviu una de les dues respostes següents:
- Si l'equació combinada no té variables i no és certa (per exemple, 2 = 7), aquest problema no tenen resposta. Aquesta resposta s'aplica a les dues equacions. (Quan es mostra gràficament, aquestes dues equacions són paral·leles i no es troben mai.)
- Si l’equació combinada no té variables i Correcte, (per exemple, 0 = 0), el que significa que té la pregunta respostes il·limitades. Aquestes dues equacions són idèntiques entre si. (Quan es representen en gràfics, aquestes dues equacions són la mateixa línia.)
Mètode 3 de 3: Dibuixeu un gràfic d’equacions
Pas 1. Realitzeu aquest mètode només quan se us indiqui
A menys que feu servir un ordinador o una calculadora gràfica, aquest mètode només pot proporcionar respostes aproximades. És possible que el vostre professor o llibre de text us indiqui que utilitzeu aquest mètode per prendre l’hàbit de dibuixar equacions com a línies. Aquest mètode també es pot utilitzar per comprovar la resposta a un dels mètodes anteriors.
La idea principal és que haureu de descriure les dues equacions i trobar-ne el punt d’intersecció. El valor de xy en aquest punt d'intersecció és la resposta al problema
Pas 2. Cerqueu els valors y de les dues equacions
No combineu les dues equacions i canvieu cada equació de manera que el format sigui "y = _x + _". Com un exemple:
- La vostra primera equació és 2x + y = 5. Canviar a y = -2x + 5.
- La vostra primera equació és - 3x + 6y = 0. Canviar a 6y = 3x + 0, i simplificar a y = x + 0.
- Si les vostres dues equacions són exactament iguals, tota la línia és la "intersecció" de les dues equacions. Escriu respostes il·limitades com a resposta.
Pas 3. Dibuixeu els eixos de coordenades
Dibuixeu una línia vertical “eix Y” i una línia horitzontal “eix X” al paper mil·limetrat. A partir del punt en què es creuen els dos eixos (0, 0), escriviu les etiquetes numèriques 1, 2, 3, 4, etc., apuntant seqüencialment cap amunt a l'eix y i apuntant a la dreta a l'eix x. Després d’això, escriviu les etiquetes numèriques -1, -2, i així successivament apuntant seqüencialment cap a l’eix y i apuntant cap a l’esquerra a l’eix x.
- Si no teniu paper mil·limetrat, utilitzeu una regla per assegurar-vos que l’espaiat entre cada número sigui exactament el mateix.
- Si feu servir nombres grans o decimals, us recomanem que escaleu el gràfic (per exemple, 10, 20, 30 o 0, 1, 0, 2, 0, 3 en lloc d’1, 2, 3).
Pas 4. Dibuixeu el punt d'intercepció en y per a cada equació
Si l’equació té la forma y = _x + _, podeu començar a dibuixar un gràfic fent el punt on la recta d’equació es creui amb l’eix y. El valor de y sempre és el mateix que l'últim número de l'equació.
- Continuant amb l'exemple anterior, la primera línia (y = -2x + 5) talla l’eix y a
Pas 5.. segona línia (y = x + 0) talla l’eix y a 0. (Aquests punts s’escriuen com a (0, 5) i (0, 0) al gràfic.)
- Si és possible, dibuixa la primera i la segona línia amb llapis o llapis de colors diferents.
Pas 5. Utilitzeu el pendent per continuar la línia
En format d’equació y = _x + _, el número davant de la x indica el "nivell de pendent" de la línia. Cada vegada que x s’incrementa en un, el valor de y augmentarà en funció del nombre de nivells de pendent. Utilitzeu aquesta informació per trobar els punts de cada línia del gràfic quan x = 1. (També podeu introduir x = 1 a cada equació i trobar el valor de y).
- Continuant amb l'exemple anterior, la línia y = -2x + 5 té un pendent de - 2. En el punt x = 1, la línia es mou avall per 2 des del punt x = 0. Dibuixeu una línia que connecti (0, 5) amb (1, 3).
- Línia y = x + 0 té un pendent de ½. A x = 1, la línia es mou passeig des del punt x = 0. Dibuixeu una línia que connecti (0, 0) amb (1,).
- Si dues línies tenen el mateix pendent, els dos mai no es creuaran. Per tant, aquest sistema d’equacions no té resposta. Escriu sense resposta com a resposta.
Pas 6. Continueu connectant les línies fins que les dues línies es creuen
Deixa de treballar i fes un cop d'ull al teu gràfic. si les dues línies s'han creuat, continueu amb el pas següent. Si no, pren una decisió en funció de la posició de les dues línies:
- Si les dues línies s’acosten, seguiu connectant els punts de les vostres ratlles.
- Si les dues línies s’allunyen l’una de l’altra, torneu enrere i connecteu els punts en direccions oposades, començant per x = 1.
- Si les dues línies estan molt separades, proveu de saltar i connectar els punts més allunyats, per exemple x = 10.
Pas 7. Cerqueu la resposta al punt de la intersecció
Després que les dues línies es creuin, el valor de xy en aquest punt és la resposta al vostre problema. Si teniu sort, la resposta serà un nombre enter. Per exemple, en el nostre exemple les dues línies es creuen en el punt (2, 1) per tant, la resposta és x = 2 i y = 1. En alguns sistemes d’equacions, el punt en què la línia es creua es troba entre dos nombres enters i, si el gràfic no és molt precís, és difícil determinar on es troben els valors x i y en el punt d’intersecció. Si es permet, podeu escriure "x està entre 1 i 2" com a resposta, o bé utilitzar el mètode de substitució o eliminació per trobar la resposta.
Consells
- Podeu comprovar el vostre treball connectant les respostes a l’equació original. Si l'equació resulta ser certa (per exemple, 3 = 3), vol dir que la vostra resposta és correcta.
- Quan s’utilitza el mètode d’eliminació, de vegades s’ha de multiplicar l’equació per un nombre negatiu de manera que les variables es puguin cancel·lar.
