Una equació de segon grau és una equació el grau més alt del qual és 2 (al quadrat). Hi ha tres maneres principals de resoldre una equació de segon grau: tenint en compte l’equació de segon grau si podeu, utilitzant una fórmula quadràtica o completant el quadrat. Si voleu dominar aquests tres mètodes, seguiu aquests passos.
Pas
Mètode 1 de 3: factorització d’equacions
Pas 1. Combineu totes les variables iguals i moveu-les a un costat de l'equació
El primer pas per tenir en compte una equació és moure totes les variables iguals a un costat de l’equació, amb x2és positiu. Per combinar variables, afegiu o resteu totes les variables x2, x i les constants (enters), les mouen a l'altre costat de l'equació de manera que no quedi res a l'altre costat. Quan l’altre costat no tingui variables restants, escriviu un 0 al costat del signe igual. A continuació s’explica com fer-ho:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 + x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Pas 2. Tingueu en compte aquesta equació
Per factoritzar aquesta equació, heu d’utilitzar el factor x2 (3) i el factor constant (-4), multiplicant-los i afegint-los per ajustar la variable del centre, (-11). A continuació s’explica com fer-ho:
- 3x2 només té un factor possible que és, 3x i x, que podeu escriure entre parèntesis: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- A continuació, utilitzeu el procés d’eliminació per factoritzar 4 per trobar el producte que produeix -11x. Podeu fer servir el producte de 4 i 1, o 2 i 2, perquè quan multipliqueu tots dos obtindreu 4. Però recordeu que un dels nombres ha de ser negatiu perquè el resultat és -4.
- Proveu (3x + 1) (x - 4). Quan el multipliqueu, el resultat és - 3x2 -12x + x -4. Si combineu les variables -12 x i x, el resultat és -11x, que és el vostre valor mitjà. Acabeu de tenir en compte una equació de segon grau.
- Per exemple, provem de tenir en compte l'altre producte: (3x -2) (x +2) = 3x2 + 6x -2x -4. Si combineu les variables, el resultat serà 3x2 -4x -4. Tot i que els factors de -2 i 2 quan es multipliquen produeixen -4, la mitjana no és la mateixa perquè es vol obtenir un valor de -11x en lloc de -4x.
Pas 3. Suposem que cada parèntesi és zero en una equació diferent
Això us permetrà trobar 2 x valors que faran que la vostra equació sigui zero. Heu tingut en compte la vostra equació, de manera que tot el que heu de fer és assumir que el càlcul de cada parèntesi és zero. Per tant, podeu escriure 3x + 1 = 0 i x - 4 = 0.
Pas 4. Resol cada equació per separat
En una equació quadràtica, hi ha 2 valors per a x. Resol cada equació per separat movent les variables i escrivint 2 respostes per a x, així:
-
Resol 3x + 1 = 0
- 3x = -1 ….. restant
- 3x / 3 = -1/3 ….. dividint
- x = -1/3 ….. simplificant
-
Resol x - 4 = 0
x = 4 ….. restant
- x = (-1/3, 4) ….. fent diverses respostes possibles separades, és a dir, x = -1/3 o x = 4, totes dues poden ser correctes.
Pas 5. Marqueu x = -1/3 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Així obtenim (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ….. substituint (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ….. simplificant (0) (- 4 1/3) = 0 ….. multiplicant So, 0 = 0 ….. Sí, x = -1/3 és cert.
Pas 6. Marqueu x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Així obtenim (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ….. substituint (13) (4 - 4)? =? 0 ….. simplificant (13) (0) = 0 ….. multiplicant So, 0 = 0 ….. Sí, x = 4 també és cert.
Per tant, després de comprovar-les per separat, les dues respostes són correctes i es poden utilitzar en equacions
Mètode 2 de 3: utilitzar la fórmula quadràtica
Pas 1. Combineu totes les variables iguals i moveu-les a un costat de l'equació
Moveu totes les variables a un costat de l'equació, amb el valor de la variable x2 positiu. Escriviu les variables amb exponents seqüencials, de manera que x2 s’escriu primer, seguit de variables i constants. A continuació s’explica com fer-ho:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Pas 2. Escriviu la fórmula quadràtica
La fórmula quadràtica és: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}
Pas 3. Determineu els valors de a, b i c a partir de l’equació de segon grau
La variable a és el coeficient x2, b és el coeficient de la variable x, i c és una constant. Per a l'equació de 3x2 -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, i c = -8. Anota tots tres.
Pas 4. Substituïu els valors de a, b i c a l'equació
Un cop coneguts els tres valors variables, connecteu-los a una equació com aquesta:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Pas 5. Realitzeu càlculs
Un cop hàgiu introduït els números, feu algunes matemàtiques per simplificar el signe positiu o negatiu, multiplicar o quadrar les variables restants. A continuació s’explica com fer-ho:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Pas 6. Simplifiqueu l'arrel quadrada
Si el número sota l'arrel quadrada és un quadrat perfecte, obtindreu un nombre enter. Si el nombre no és un quadrat perfecte, simplifiqueu la forma arrel més senzilla. Si el nombre és negatiu i creieu que hauria de ser negatiu, el valor arrel serà complicat. En aquest exemple, (121) = 11. Podeu escriure x = (5 +/- 11) / 6.
Pas 7. Cerqueu les respostes positives i negatives
Un cop heu eliminat el signe d’arrel quadrada, podeu avançar fins a trobar un resultat positiu i negatiu per a x. Ara que teniu (5 +/- 11) / 6, podeu escriure 2 respostes:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Pas 8. Completa les respostes positives i negatives
Realitzeu càlculs matemàtics:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Pas 9. Simplifiqueu
Per simplificar cada resposta, dividiu pel nombre més gran que pugui dividir els dos números. Divideix la primera fracció per 2 i divideix la segona per 6 i trobaràs el valor de x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Mètode 3 de 3: Completa el quadrat
Pas 1. Moveu totes les variables a un costat de l'equació
Assegureu-vos que a o variable x2 positiu. A continuació s’explica com fer-ho:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
En aquesta equació, la variable a és 2, la variable b és -12 i la variable c és -9
Pas 2. Moveu la variable o constant c a l'altre costat
Les constants són termes numèrics sense variables. Desplaceu-vos cap al costat dret de l'equació:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Pas 3. Dividiu els dos costats pel coeficient a o la variable x2.
Si x2 no té una variable i el coeficient és 1, podeu ometre aquest pas. En aquest cas, heu de dividir totes les variables per 2, així:
- 2x2/ 2 - 12x / 2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Pas 4. Divideix b per 2, quadreu-lo i afegiu el resultat a tots dos costats
El valor de b en aquest exemple és -6. A continuació s’explica com fer-ho:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Pas 5. Simplifiqueu les dues cares
Factoreu la variable del costat esquerre per obtenir (x-3) (x-3) o (x-3)2. Afegiu els valors a la dreta per obtenir el 9/2 + 9 o el 9/2 + 18/2, que és el 27/2.
Pas 6. Cerqueu l'arrel quadrada per als dos costats
Arrel quadrada de (x-3)2 és (x-3). Podeu escriure l'arrel quadrada de 27/2 com a ± √ (27/2). Per tant, x - 3 = ± √ (27/2).
Pas 7. Simplifiqueu les arrels i busqueu el valor de x
Per simplificar ± √ (27/2), trobeu el quadrat perfecte entre els nombres 27 i 2 o factoritzeu aquest nombre. El quadrat perfecte de 9 es pot trobar a 27 perquè 9 x 3 = 27. Per treure 9 de l’arrel quadrada, traieu 9 de l’arrel i escriviu 3, l’arrel quadrada, fora de l’arrel quadrada. Deixeu el 3 restant al numerador de la fracció per sota de l’arrel quadrada, ja que 27 no treballa tots els factors i escriviu-ne 2 a continuació. A continuació, moveu la constant 3 a la part esquerra de l’equació cap a la dreta i escriviu les vostres dues solucions per a x:
- x = 3 + (√6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
Consells
- Com podeu veure, les marques arrel no desapareixeran completament. Per tant, les variables numeradores no es poden combinar (perquè no són iguals). No té cap sentit separar-lo en positiu o negatiu. No obstant això, el podem dividir pel mateix factor, però NOMÉS si els factors són els mateixos per a les dues constants I coeficient d’arrel.
- Si el número sota l'arrel quadrada no és un quadrat perfecte, els darrers passos són una mica diferents. Aquí teniu un exemple:
- Si b és un nombre parell, la fórmula es converteix en: {- (b / 2) +/- (b / 2) -ac} / a.
