Aprendre a simplificar expressions algebraiques és una de les claus per dominar l’àlgebra bàsica i l’eina més útil que ha de tenir qualsevol matemàtic. La simplificació permet als matemàtics convertir expressions complexes, llargues i / o senars en expressions equivalents més senzilles o més senzilles. Les habilitats bàsiques de simplificació són molt fàcils d’aprendre, fins i tot per a aquells que odien les matemàtiques. Seguint uns quants passos senzills, és possible simplificar molts dels tipus d’expressions algebraiques més utilitzats, sense utilitzar cap coneixement especial de matemàtiques. Feu un cop d'ull al pas 1 per començar.
Pas
Comprensió de conceptes importants
Pas 1. Agrupeu termes semblants segons les seves variables i potències
En àlgebra, els termes semblants tenen la mateixa configuració variable, amb la mateixa potència. En altres paraules, perquè dos termes siguin iguals, han de tenir la mateixa variable o cap variable, i cada variable té la mateixa potència o no té cap exponent. L’ordre de les variables en termes no és important.
Per exemple, 3x2 i 4x2 són com a termes perquè tots dos tenen una variable x amb la potència del quadrat. Tanmateix, x i x2 no són com els termes perquè cada terme té una variable x amb una potència diferent. Gairebé igual, -3yx i 5xz no són termes semblants perquè cada terme té una variable diferent.
Pas 2. Factoreu escrivint el número com a producte dels dos factors
El factoratge és el concepte d’anotar un nombre determinat com a producte de la multiplicació de dos factors. Els números poden tenir més d’un conjunt de factors; per exemple, 12 es poden obtenir de 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, de manera que podem dir que 1, 2, 3, 4, 6 i 12 són factors de 12 Una altra manera d'imaginar-ho és que els factors d'un nombre són els nombres que divideixen el nombre sencer.
- Per exemple, si volguéssim tenir en compte el factor 20, el podríem escriure com 4 × 5.
- Tingueu en compte que també es poden tenir en compte els termes variables. -20x, per exemple, es pot escriure com 4 (5 vegades).
- No es poden tenir en compte els nombres primers perquè només es poden dividir entre ells i 1.
Pas 3. Utilitzeu les sigles KaPaK BoTaK per recordar l'ordre de les operacions
De vegades, simplificar una expressió simplement resol l’operació de l’equació fins que deixa de ser factible. En aquests casos, és molt important recordar l’ordre de les operacions perquè no es produeixin errors aritmètics. L’acrònim KaPaK BoTaK us ajudarà a recordar l’ordre de les operacions: les lletres indiquen els tipus d’operacions que heu de realitzar, en l’ordre següent:
- Kfracassar
- Pàgaixecar
- Kali
- Bde nou
- Tafegir
- Kgambetes
Mètode 1 de 3: Combina els termes semblants
Pas 1. Escriviu la vostra equació
Les equacions algebraiques més simples, que impliquen només uns quants termes variables amb coeficients enters i sense fraccions, arrels, etc., sovint es poden resoldre en pocs passos. Per a la majoria de problemes de matemàtiques, el primer pas per simplificar l’equació és escriure-la.
Com a problema d’exemple, utilitzem l’expressió per als passos següents 1 + 2x - 3 + 4x.
Pas 2. Identifiqueu tribus similars
A continuació, cerqueu termes semblants a la vostra equació. Recordeu que els termes semblants tenen la mateixa variable i exponent.
Per exemple, identifiquem termes semblants a la nostra equació 1 + 2x - 3 + 4x. 2x i 4x tenen la mateixa variable amb la mateixa potència (en aquest cas, x no té exponent). A més, 1 i -3 són termes semblants perquè no tenen variables. Així doncs, a la nostra equació, 2x i 4x i 1 i -3 són tribus similars.
Pas 3. Combineu termes semblants
Ara que us heu identificat com a termes, podeu combinar-los per simplificar l'equació. Afegiu els termes (o resteu en el cas de termes negatius) per reduir el conjunt de termes amb la mateixa variable i exponent a un terme igual.
-
Afegim termes semblants al nostre exemple.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Pas 4. Creeu una equació més senzilla a partir dels termes simplificats
Després de combinar els vostres termes semblants, feu una equació a partir del conjunt de termes més petit i nou. Obtindreu una equació més senzilla, que té un terme per als diferents conjunts de variables i potències de l’equació original. Aquesta nova equació equival a l'equació original.
En el nostre exemple, els nostres termes simplificats són 6x i -2, de manera que la nostra nova equació és 6x - 2. Aquesta senzilla equació equival a l'original (1 + 2x - 3 + 4x), però més curta i fàcil de treballar. També és més fàcil de tenir en compte, que veurem a continuació, que és una altra important habilitat simplificadora.
Pas 5. Seguiu l'ordre d'operacions en combinar termes similars
En equacions molt senzilles com la que hem treballat en l'exemple de problema anterior, identificar termes semblants és fàcil. Tanmateix, en equacions més complexes, com ara expressions que impliquen termes, fraccions i arrels entre parèntesi, com ara els termes que es poden combinar, poden no ser clarament visibles. En aquests casos, seguiu l'ordre de les operacions, realitzant operacions segons els termes de la vostra expressió segons sigui necessari fins que queden les operacions de suma i resta.
-
Per exemple, fem servir l’equació 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Seria erroni considerar immediatament 3x i 2x com a termes semblants i combinar-los perquè els parèntesis de l’expressió indiquen que primer hem de fer altres operacions. En primer lloc, realitzem operacions aritmètiques a l’expressió en l’ordre de les operacions per obtenir termes que podem utilitzar. Vegeu el següent:
- 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Ara, com que les úniques operacions restants són la suma i la resta, podem combinar termes similars.
- x2 + (15x - 3x) + (8-5)
- x2 + 12x + 3
Mètode 2 de 3: Factoring
Pas 1. Identifiqueu el factor comú més gran de l’expressió
El factoratge és una manera de simplificar una expressió eliminant els factors que són els mateixos en termes semblants a l'expressió. Per començar, trobeu el factor comú més gran que tenen tots els termes, és a dir, el nombre més gran que divideix tots els termes en l’expressió sencera.
-
Utilitzem l’equació 9x2 + 27x - 3. Fixeu-vos que cada terme d'aquesta equació és divisible per 3. Atès que els termes no són divisibles per cap nombre més gran, podem dir que
Pas 3. és el nostre major factor comú.
Pas 2. Divideix els termes de l’expressió pel màxim factor comú
A continuació, dividiu cada terme de la vostra equació pel factor comú més gran que acabeu de trobar. Els termes quocients tindran un coeficient menor que l’equació original.
-
Factoritzem la nostra equació pel màxim factor comú, 3. Per fer-ho, dividirem cada terme per 3.
- 9x2/ 3 = 3x2
- 27x / 3 = 9x
- -3/3 = -1
- Per tant, la nostra nova expressió és 3x2 + 9x - 1.
Pas 3. Escriviu la vostra expressió com a producte del màxim factor comú multiplicat pels termes restants
La vostra nova expressió no equival a la vostra expressió original, de manera que no seria correcte dir que s'ha simplificat l'expressió. Per fer que la nostra nova expressió sigui igual a l'original, hem d'incloure el fet que la nostra expressió s'ha dividit pel factor comú més gran. Incloeu la vostra nova expressió entre parèntesis i escriviu el màxim factor comú de l'equació original com a coeficient d'expressió entre parèntesis.
Per al nostre exemple d’equació, 3x2 + 9x - 1, podem incloure l’expressió entre parèntesis i multiplicar-la pel màxim factor comú de l’equació original per obtenir 3 (3x2 + 9x - 1). Aquesta equació equival a l'equació original, 9x2 + 27x - 3.
Pas 4. Utilitzeu el factoratge per simplificar les fraccions
Ara us podeu preguntar per què s’utilitza la factoring, si fins i tot després d’eliminar el màxim factor comú, la nova expressió s’ha de multiplicar de nou per aquest factor. De fet, el factoratge permet als matemàtics realitzar diversos trucs per simplificar les expressions. Un dels seus trucs més fàcils s’aprofita del fet que multiplicant el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre es poden produir fraccions equivalents. Vegeu el següent:
-
Digueu el nostre exemple d’expressió inicial, 9x2 + 27x - 3, és el quantificador de la fracció més gran amb 3 com a numerador. La fracció serà així: (9x2 + 27x - 3) / 3. Podem utilitzar el factoratge per simplificar les fraccions.
- Substituïm la forma de factorització de la nostra expressió original per l’expressió del numerador: (3 (3x2 + 9x - 1)) / 3
- Fixeu-vos que ara, tant el numerador com el denominador tenen un coeficient de 3. Dividint el numerador i el denominador per 3, obtenim: (3x2 + 9x - 1) / 1.
- Com que qualsevol fracció amb un denominador d’1 equival als termes del numerador, podem dir que la nostra fracció inicial es pot simplificar a 3x2 + 9x - 1.
Mètode 3 de 3: Aplicació d’habilitats de simplificació addicionals
Pas 1. Simplifiqueu les fraccions dividint pels mateixos factors
Com s’ha indicat anteriorment, si el numerador i el denominador d’una equació tenen els mateixos factors, aquests factors es poden ometre completament a la fracció. De vegades, caldrà tenir en compte el numerador, el denominador o tots dos (com és el cas de l’exemple del problema anterior), mentre que de vegades els mateixos factors són sovint evidents. Tingueu en compte que també és possible dividir els termes del numerador per l’equació del denominador un per un per obtenir una expressió simple.
-
Anem a treballar en un exemple que no requereixi tenir en compte el factor. Per a fraccions (5x2 + 10x + 20) / 10, podem dividir cada terme del numerador per 10 per simplificar, fins i tot si el coeficient és 5 en 5x2 no és superior a 10 i, per tant, 10 no és un factor.
Si ho fem, obtindrem ((5x2) / 10) + x + 2. Si volguéssim, podríem reescriure el primer terme com (1/2) x2 de manera que obtenim (1/2) x2 + x + 2.
Pas 2. Utilitzeu els factors quadrats per simplificar les arrels
L'expressió sota el signe arrel s'anomena expressió arrel. Aquesta expressió es pot simplificar identificant els factors quadrats (factors que són quadrats de enters) i realitzant l’operació d’arrel quadrada per separat per eliminar-los de sota el signe d’arrel quadrada.
-
Fem un exemple senzill: (90). Si pensem en 90 com a producte dels seus dos factors, 9 i 10, podem agafar l’arrel quadrada de 9 que és l’enter 3 i eliminar-la del signe radical. En altres paraules:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Pas 3. Afegiu exponents en multiplicar dos exponents; restar en dividir
Algunes expressions algebraiques requereixen multiplicar o dividir termes de potència. En lloc de calcular o dividir cada exponent manualment, només cal afegir els exponents en multiplicar i restar en dividir per estalviar temps. Aquest concepte també es pot utilitzar per simplificar expressions variables.
-
Per exemple, fem servir l’expressió 6x3 × 8x4 + (x17/ x15). En qualsevol cas en què calgui multiplicar o dividir els exponents, restarem o sumarem exponents, respectivament, per trobar ràpidament el terme simple. Vegeu el següent:
- 6x3 × 8x4 + (x17/ x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 + x2
-
Per obtenir una explicació de com funciona, vegeu a continuació:
- Multiplicar termes en exponents és en realitat com multiplicar termes no en exponents llargs. Per exemple, perquè x3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x8.
- Gairebé el mateix, dividir els exponents és com dividir els termes, no els exponents llargs. x5/ x3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Com que cada terme del numerador es pot ratllar trobant el mateix terme al denominador, només queden dues x al numerador i no queda res a la part inferior, donant la resposta x2.
Consells
- Recordeu sempre que heu d’imaginar que aquestes xifres tenen signes positius i negatius. Molta gent s’atura a pensar quin signe he de posar aquí?
- Demaneu ajuda si la necessiteu!
- Simplificar les expressions algebraiques no és fàcil, però un cop l’entengueu, l’utilitzarà la resta de la vostra vida.
Advertiment
- Busqueu sempre tribus similars i no us deixeu enganyar pel rang.
- Assegureu-vos que no afegiu números, potències o operacions que no s’han de fer sense voler.
