3 maneres de resoldre equacions cúbiques

2024 Autora: Jason Gerald | [email protected]. Última modificació: 2024-01-16 19:15

Quan trobeu per primera vegada l’equació cúbica (que té la forma de destral) ³ + bx ² + cx + d = 0), potser creieu que el problema serà difícil de resoldre. Però sabeu que la solució d’equacions cúbiques existeix des de fa segles! Aquesta solució, descoberta pels matemàtics italians Niccolò Tartaglia i Gerolamo Cardano a la dècada del 1500, és una de les primeres fórmules conegudes a l’antiga Grècia i Roma. La resolució d’equacions cúbiques pot ser una mica difícil, però amb un enfocament adequat (i un coneixement suficient), fins i tot es poden resoldre les equacions cúbiques més difícils.

Pas

Mètode 1 de 3: resolució mitjançant equacions quadràtiques

Pas 1. Comproveu si la vostra equació cúbica té una constant

Com s’ha dit anteriorment, la forma de l’equació cúbica és ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, i el valor de d pot ser 0 sense afectar la forma d'aquesta equació cúbica; això significa bàsicament que l'equació cúbica no sempre ha d'incloure el valor de bx ², cx o d per ser una equació cúbica. Per començar a utilitzar aquesta manera bastant fàcil de resoldre equacions cúbiques, comproveu si la vostra equació cúbica té una constant (o un valor de d). Si la vostra equació no té una constant ni un valor per a d, podeu utilitzar una equació de segon grau per trobar la resposta a l'equació cúbica després d'uns quants passos.

En canvi, si la vostra equació té un valor constant, necessitareu una altra solució. Consulteu els passos següents per obtenir altres aproximacions

Pas 2. Factoreu el valor x de l'equació cúbica

Com que la vostra equació no té cap valor constant, tots els components de la mateixa tenen la variable x. Això significa que aquest valor de x es pot treure de l’equació per simplificar-lo. Feu aquest pas i reescriviu l'equació cúbica en la forma x (ax ² + bx + c).

Per exemple, diguem que l'equació cúbica original aquí és 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Tenint en compte una variable x d'aquesta equació, obtenim l'equació x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Pas 3. Utilitzeu equacions de segon grau per resoldre les equacions entre claudàtors

És possible que noteu que algunes de les vostres noves equacions, que estan entre parèntesis, tenen la forma d’una equació de segon grau (ax ² + bx + c). Això vol dir que podem trobar el valor necessari per fer aquesta equació igual a zero connectant a, b i c a la fórmula de l’equació quadràtica ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a). Realitzeu aquests càlculs per trobar dues respostes a la vostra equació cúbica.

• Al nostre exemple, connecteu els valors de a, b i c (3, -2 i 14, respectivament) a l’equació quadràtica de la manera següent:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)} / 2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Resposta 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i} / 6

• Resposta 2:

  {2 - 12,8 i} / 6

Pas 4. Utilitzeu zeros i la vostra resposta a la vostra equació de segon grau com a resposta a la vostra equació cúbica

Les equacions quadràtiques tindran dues respostes, mentre que les equacions cúbiques tenen tres respostes. Ja coneixeu dues respostes de cada tres; que obteniu de la part "quadrada" de l'equació entre claudàtors. Si la vostra equació cúbica es pot resoldre mitjançant una "factorització" així, la vostra tercera resposta és gairebé sempre 0. Caixa forta! Acabeu de resoldre una equació cúbica.

La raó que fa funcionar aquest mètode és el fet fonamental que "qualsevol nombre multiplicat per zero és igual a zero". Quan es divideix l’equació en la forma x (ax ² + bx + c) = 0, bàsicament només heu de dividir-lo en dues "parts"; una part és la variable x del costat esquerre i l’altra part és l’equació quadràtica entre claudàtors. Si una d'aquestes dues parts és zero, tota l'equació també serà zero. Així, les dues respostes a l’equació quadràtica entre parèntesis, que la convertirien en zero, són les respostes a l’equació cúbica, així com el mateix 0, que faria que la part del costat esquerre també fos zero.

Mètode 2 de 3: trobar respostes senceres mitjançant una llista de factors

Pas 1. Assegureu-vos que la vostra equació cúbica tingui un valor constant

Tot i que els mètodes descrits anteriorment són bastant fàcils d’utilitzar perquè no cal que aprengueu una nova tècnica de càlcul, no sempre us ajudaran a resoldre equacions cúbiques. Si la vostra equació cúbica té la forma ax ³ + bx ² + cx + d = 0, on el valor de d no és igual a zero, el mètode de "factorització" anterior no funciona, de manera que haureu d'utilitzar un dels mètodes d'aquesta secció per resoldre-ho.

Per exemple, suposem que tenim l’equació 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. En aquest cas, per obtenir zero al costat dret de l'equació, hem d'afegir 6 a tots dos costats. Després d'això, obtindrem una nova equació 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, amb un valor de d = 6, de manera que no podem utilitzar el mètode de "factorització" com en el mètode anterior.

Pas 2. Trobeu els factors de a i d

Per resoldre l’equació cúbica, comenceu per trobar el factor de a (el coeficient de x ³) i d (el valor constant al final de l’equació). Recordeu, els factors són nombres que es poden multiplicar entre si per produir un nombre determinat. Per exemple, atès que podeu obtenir 6 multiplicant 6 × 1 i 2 × 3, 1, 2, 3 i 6 són factors de 6.

• A l'exemple de problema que fem servir, a = 2 i d = 6. El factor 2 és 1 i 2. Tot i que el factor 6 és 1, 2, 3 i 6.

  

  Pas 3. Divideix el factor a pel factor de d

  A continuació, indiqueu els valors que obteniu dividint cada factor de a per cada factor de d. Aquest càlcul sol donar lloc a molts valors fraccionaris i diversos nombres enters. El valor enter per resoldre l’equació cúbica és un dels enters obtinguts a partir del càlcul.

  A la nostra equació, divideix el valor del factor d’a (1, 2) pel factor de d (1, 2, 3, 6) i obtindràs els resultats següents: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 i 2/3. A continuació, afegiu valors negatius a la llista i obtindrem: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 i -2/3. La resposta a l’equació cúbica, que és un nombre enter, figura a la llista.

  

  Pas 4. Utilitzeu la divisió sintètica per comprovar manualment les respostes

  Un cop tingueu una llista de valors com l’anterior, podeu cercar els valors enters que són les respostes a l’equació cúbica introduint cada enter manualment i trobar quin valor retorna zero. Tanmateix, si no voleu passar temps fent això, hi ha una manera de fer-ho més ràpidament, concretament amb un càlcul anomenat divisió sintètica. Bàsicament, dividiríeu el valor enter entre els coeficients originals de a, b, c i d a la vostra equació cúbica. Si la resta és zero, aquest valor és una de les respostes a la vostra equació cúbica.

  • La divisió sintètica és un tema complex: consulteu l’enllaç següent per obtenir més informació. Aquí teniu un exemple de com trobar una de les respostes a la vostra equació cúbica amb divisió sintètica:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Com que obtenim el resultat final igual a 0, sabem que una de les respostes enteres a la nostra equació cúbica és - 1.

  Mètode 3 de 3: utilitzar l’enfocament discriminant

  

  Pas 1. Escriviu les equacions a, b, c i d

  Per trobar la resposta a l’equació cúbica d’aquesta manera, farem molts càlculs amb els coeficients de la nostra equació. Per això, és una bona idea anotar els valors de a, b, c i d abans d’oblidar qualsevol dels valors.

  Per exemple, per a l'equació x ³ - 3 x ² + 3 x - 1, escriviu-lo com a = 1, b = -3, c = 3 i d = -1. No oblideu que quan la variable x no té coeficient, el seu valor és 1.

  

  Pas 2. Calculeu 0 = b ² - 3 aparells d’aire condicionat.

  L’enfocament discriminant per trobar respostes a equacions cúbiques requereix càlculs complexos, però si seguiu els passos amb atenció, pot ser molt útil per resoldre equacions cúbiques difícils de resoldre d’altres maneres. Per començar, trobeu el valor de 0, que és el primer valor significatiu dels diversos que necessitem, connectant el valor adequat a la fórmula b ² - 3 aparells d’aire condicionat.

  • A l'exemple que estem utilitzant, ho resoldrem de la següent manera:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Pas 3. Calculeu 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  El següent valor significatiu que necessitem, 1, requereix un càlcul més llarg, però es pot trobar de la mateixa manera que 0. Connecteu el valor adequat a la fórmula 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d per obtenir el valor d'1.

  • En aquest exemple, el resolem de la següent manera:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Pas 4. Calculeu = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  A continuació, calculem el valor "discriminant" dels valors 0 i 1. El discriminant és un nombre que us proporciona informació sobre l’arrel del polinomi (és possible que hàgiu memoritzat inconscientment la fórmula discriminant quadràtica: b ² - 4 aparells d’aire condicionat). En el cas d’una equació cúbica, si el valor del discriminant és positiu, l’equació té tres respostes de nombres reals. Si el valor discriminant és igual a zero, l'equació té una o dues respostes de nombre real i algunes de les respostes tenen el mateix valor. Si el valor és negatiu, l'equació només té una resposta de nombre real, perquè la gràfica de l'equació sempre tallarà l'eix x almenys una vegada.)

  • En aquest exemple, atès que 0 i 1 = 0, trobar el valor de és molt fàcil. Només cal calcular-lo de la següent manera:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, de manera que la nostra equació té 1 o 2 respostes.

  

  Pas 5. Calculeu C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2).

  L’últim valor que ens importa obtenir és el valor de C. Aquest valor ens permet obtenir les tres arrels de la nostra equació cúbica. Resoleu com és habitual, connectant els valors de 1 i 0 a la fórmula.

  • En aquest exemple, obtindrem el valor de C mitjançant:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1) / 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Pas 6. Calculeu les tres arrels de l'equació amb la vostra variable

  L’arrel (resposta) de l’equació cúbica ve determinada per la fórmula (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, on u = (-1 + (-3)) / 2 i n són iguals a 1, 2 o 3. Connecteu els vostres valors a la fórmula per resoldre'ls. És possible que hàgiu de fer molts càlculs, però hauríeu d'obtenir les tres respostes de les vostres equacions cúbiques.

  • En aquest exemple, el podem resoldre comprovant les respostes quan n és igual a 1, 2 i 3. La resposta que obtenim d’aquest càlcul és la possible resposta a la nostra equació cúbica: qualsevol valor que connectem a l’equació cúbica i dóna la mateix resultat. amb 0, és la resposta correcta. Per exemple, si obtenim una resposta igual a 1 si en un dels nostres experiments de càlcul, connectem el valor 1 a l'equació x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 dóna el resultat final igual a 0. Per tant

    Pas 1. és una de les respostes a la nostra equació cúbica.