Sovint es demana als estudiants de matemàtiques que escrivin les seves respostes en la forma més senzilla, és a dir, que escrivin les respostes de la manera més elegant possible. Tot i que les equacions llargues, rígides i curtes, a més d’elegants, són tècnicament el mateix, sovint, un problema matemàtic no es considera complet si la resposta final no es redueix a la seva forma més simple. A més, la resposta en la seva forma més senzilla és gairebé sempre l’equació més fàcil de treballar. Per aquest motiu, aprendre a simplificar les equacions és una habilitat important per als matemàtics.
Pas
Mètode 1 de 2: Utilització de la seqüència d’operacions
Pas 1. Conegueu l'ordre de les operacions
En simplificar expressions matemàtiques, no es pot treballar simplement d’esquerra a dreta, multiplicant, sumant, restant, etc., d’ordre esquerre a dret. Algunes operacions matemàtiques han de prevaler sobre d’altres i fer-les primer. De fet, utilitzar un ordre d’operacions incorrecte pot donar una resposta equivocada. L’ordre de les operacions és: la part entre parèntesis, l’exponent, la multiplicació, la divisió, la suma i, finalment, la resta. Un acrònim que podeu recordar és perquè la mare no és bona, és dolenta i pobra.
Tingueu en compte que, tot i que un coneixement bàsic de l'ordre de les operacions pot simplificar les equacions més bàsiques, es requereixen tècniques especials per simplificar moltes equacions variables, incloses gairebé tots els polinomis. Consulteu el segon mètode següent per obtenir més informació
Pas 2. Comenceu completant totes les seccions entre parèntesis
En matemàtiques, els parèntesis indiquen que la part interna s’ha de calcular per separat de l’expressió que queda fora del parèntesi. Independentment de les operacions que hi hagi dins dels parèntesis, assegureu-vos de completar la part dintre dels claudàtors quan intenteu simplificar una equació. Per exemple, entre parèntesis, heu de multiplicar abans de sumar, restar, etc.
-
Per exemple, intentem simplificar l'equació 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). En aquesta equació, primer hem de resoldre la part que hi ha dins dels claudàtors, és a dir, 5 + 2 i 3 + 4/2. 5 + 2 =
Pas 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Pas 5
La part del segon parèntesi es simplifica a 5 perquè segons l’ordre d’operacions, dividim primer 4/2 entre parèntesis. Si només treballem d’esquerra a dreta, afegim primer 3 i 4 i després dividim per 2, donant la resposta equivocada 7/2
- Nota: si hi ha diversos parèntesis entre parèntesis, completeu la secció del parèntesi més interior, el segon més interior, etc.
Pas 3. Resol l'exponent
Després de completar els claudàtors, a continuació, resoleu l'exponent de la vostra equació. Això és fàcil de recordar perquè en els exponents, el nombre base i la potència de la potència estan l'un al costat de l'altre. Cerqueu la resposta a cada part de l'exponent i, a continuació, connecteu la resposta a l'equació per substituir la part de l'exponent.
Després de completar la part entre parèntesis, ara el nostre exemple d’equació es converteix en 2x + 4 (7) + 32 - 5. L’únic exponencial del nostre exemple és 32, que és igual a 9. Afegiu aquest resultat a la vostra equació per substituir 32 donant lloc a 2x + 4 (7) + 9-5.
Pas 4. Resoleu el problema de multiplicació de la vostra equació
A continuació, feu la multiplicació que calgui a la vostra equació. Recordeu que la multiplicació es pot escriure de diverses maneres. El símbol × punt o asterisc és una manera de mostrar la multiplicació. Tanmateix, un número al costat de parèntesis o una variable (com ara 4 (x)) també representa una multiplicació.
-
Hi ha dues parts de multiplicació en el nostre problema: 2x (2x és 2 × x) i 4 (7). No sabem el valor de x, de manera que només el deixem a 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Pas 28.. Podem reescriure la nostra equació per ser 2x + 28 + 9-5.
Pas 5. Procediu a la divisió
Quan busqueu problemes de divisió a les vostres equacions, tingueu en compte que, com la multiplicació, la divisió es pot escriure de diverses maneres. Un d’ells és el símbol, però tingueu en compte que les barres inclinades i ratlles, com ara en fraccions (per exemple, 3/4), també indiquen divisió.
Perquè ja hem fet la divisió (4/2) quan hem acabat les parts entre claudàtors. El nostre exemple encara no té cap problema de divisió, de manera que ometrem aquest pas. Això mostra un punt important: no heu de realitzar totes les operacions quan simplifiqueu una expressió, només les operacions que conté el vostre problema
Pas 6. A continuació, afegiu el que hi hagi a la vostra equació
Podeu treballar d’esquerra a dreta, però és més fàcil sumar primer els números fàcils d’afegir. Per exemple, al problema 49 + 29 + 51 + 71, és més fàcil afegir 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 i 100 + 100 = 200, que 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 i 129 + 71 = 200.
El nostre exemple d’equació s’ha simplificat parcialment a 2x + 28 + 9-5. Ara, hem de sumar els números que puguem sumar; anem a veure cada problema d’addició d’esquerra a dreta. No podem afegir 2x i 28 perquè no sabem el valor de x, així que només l’ometrem. 28 + 9 = 37, es pot reescriure com a 2x + 37-5.
Pas 7. L'últim pas de la seqüència d'operacions és la resta
Continueu el problema resolent els problemes restants de restes. És possible que pugueu pensar en la resta com afegir números negatius en aquest pas o fer els mateixos passos que per a un problema de suma habitual; la vostra elecció no afectarà la vostra resposta.
-
Al nostre problema, 2x + 37 - 5, només hi ha un problema de resta. 37 - 5 =
Pas 32.
Pas 8. Comproveu la vostra equació
Després de resoldre mitjançant l’ordre de les operacions, s’hauria de simplificar l’equació a la forma més senzilla. Tot i això, si la vostra equació conté una o més variables, enteneu que no cal treballar-les. Per simplificar una variable, heu de trobar el valor de la variable o utilitzar tècniques especials per simplificar l'expressió (vegeu el pas següent).
La nostra resposta final és 2x + 32. No podem resoldre aquesta addició final tret que coneguem el valor de x, però si en sabéssim el valor, aquesta equació seria molt més fàcil de resoldre que la nostra llarga equació original
Mètode 2 de 2: simplificació d’equacions complexes
Pas 1. Sumeu les parts que tinguin la mateixa variable
En resoldre equacions de variables, recordeu que les parts que tenen la mateixa variable i exponent (o la mateixa variable) es poden afegir i restar com els nombres normals. Aquesta part ha de tenir la mateixa variable i exponent. Per exemple, es poden afegir 7x i 5x, però 7x i 5x2 no es pot sumar.
- Aquesta regla també s'aplica a algunes variables. Per exemple, 2xy2 es pot resumir per -3xy2, però no es pot resumir per -3x2y o -3y2.
- Vegeu l’equació x2 + 3x + 6 - 8x. En aquesta equació, podem afegir 3x i -8x perquè tenen la mateixa variable i exponent. L’equació simple es converteix en x2 - 5x + 6.
Pas 2. Simplifiqueu els nombres fraccionaris dividint o ratllant els factors
Les fraccions que només tenen nombres (i sense variables) al numerador i al denominador es poden simplificar de diverses maneres. El primer, i potser el més fàcil, és pensar la fracció com un problema de divisió i dividir el denominador pel numerador. A més, es pot ratllar qualsevol factor de multiplicació que aparegui al numerador i al denominador perquè dividint els dos factors resulta el número 1.
Per exemple, mireu la fracció 36/60. Si tenim una calculadora, la podem dividir per obtenir la resposta 0, 6. Tot i això, si no tenim una calculadora, podem simplificar-la tot ratllant els mateixos factors. Una altra manera d’imaginar el 36/60 és (6 × 6) / (6 × 10). Aquesta fracció es pot escriure com a 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, de manera que la nostra fracció és en realitat 1 × 6/10 = 6/10. Tot i això, encara no hem acabat: tant el 6 com el 10 tenen el mateix factor, que és 2. Repetint el mètode anterior, el resultat esdevé 3/5.
Pas 3. A la fracció variable, ratlla tots els factors de la variable
Les equacions variables en forma de fracció tenen una manera única de simplificar. Igual que les fraccions ordinàries, les fraccions variables permeten eliminar els factors que tenen en comú tant el numerador com el denominador. No obstant això, en fraccions variables, aquests factors poden ser nombres i equacions de la variable real.
- Diguem l’equació (3x2 + 3x) / (- 3x2 + 15x). Aquesta fracció es pot escriure com (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), apareix 3x tant al numerador com al denominador. En creuar aquests factors fora de l’equació, el resultat esdevé (x + 1) / (5 - x). Igual que a l’expressió (2x2 + 4x + 6) / 2, ja que cada part és divisible per 2, podem escriure l’equació com (2 (x2 + 2x + 3)) / 2 i després simplifiqueu a x2 + 2x + 3.
- Tingueu en compte que no podeu ratllar totes les seccions; només podeu ratllar els factors de multiplicació que apareixen al numerador i al denominador. Per exemple, a l'expressió (x (x + 2)) / x, x es pot ratllar tant del numerador com del denominador, de manera que es converteixi en (x + 2) / 1 = (x + 2). Tanmateix, (x + 2) / x no es pot ratllar a 2/1 = 2.
Pas 4. Multipliqueu la part entre parèntesis per la constant
Quan es multiplica la part que té la variable entre parèntesis per una constant, de vegades multiplicar cada part dels claudàtors per una constant pot resultar en una equació més senzilla. Això s'aplica a les constants que només consten de nombres i constants que tenen variables.
- Per exemple, l’equació 3 (x2 + 8) es pot simplificar a 3x2 + 24, mentre que 3x (x2 + 8) es pot simplificar a 3x3 + 24x.
- Tingueu en compte que, en alguns casos, com ara fraccions variables, les constants al voltant dels parèntesis es poden ratllar, de manera que no cal multiplicar-les per la part del parèntesi. En fraccions (3 (x2 + 8)) / 3x, per exemple, el factor 3 apareix tant al numerador com al denominador, de manera que podem ratllar-lo i simplificar l'expressió a (x2 + 8) / x. Aquesta expressió és més senzilla i fàcil de treballar que (3x3 + 24x) / 3x, que és el resultat que obtindrem si el multipliquem.
Pas 5. Simplifiqueu el factoratge
El factoratge és una tècnica que es pot utilitzar per simplificar algunes expressions variables, inclosos els polinomis. Penseu en el factoratge com el contrari de multiplicar-se per la part entre parèntesis del pas anterior: de vegades, es pot considerar una expressió com dues parts que es multipliquen entre si, en lloc d’una expressió unitària. Això és especialment cert si tenir en compte una equació us permet ratllar una de les seves parts (com en fraccions). En certs casos (sovint amb equacions de segon grau), el factoratge fins i tot us pot permetre trobar la solució a l’equació.
- Assumim de nou l'expressió x2 - 5x + 6. Aquesta expressió es pot tenir en compte (x - 3) (x - 2). Per tant, si x2 - 5x + 6 és el numerador d'una equació donada on el denominador té un d'aquests factors, com en l'expressió (x2 - 5x + 6) / (2 (x - 2)), potser voldríem escriure-ho en forma de factor per poder ratllar el factor amb el denominador. En altres paraules, a (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), la part (x - 2) es pot ratllar per ser (x - 3) / 2.
-
Com es va assenyalar anteriorment, un altre motiu pel qual pot ser que vulgueu factoritzar les vostres equacions és que el factoratge us pot donar respostes a certes equacions, especialment si s’escriuen igual a 0. Per exemple, l’equació x2 - 5x + 6 = 0. El factoratge dóna (x - 3) (x - 2) = 0. Com que qualsevol nombre multiplicat per zero és igual a zero, sabem que si alguna part dels parèntesis és igual a zero, tota l’equació a l’esquerra de el signe igual, també és zero. I que
Pas 3. da
Pas 2. són les dues respostes a l'equació.
