Una equació racional és una fracció amb una o més variables al numerador o denominador. Una equació racional és qualsevol fracció que implica almenys una equació racional. Igual que les equacions algebraiques ordinàries, les equacions racionals es resolen realitzant la mateixa operació a banda i banda de l’equació fins que les variables es puguin transferir a qualsevol costat de l’equació. Dues tècniques especials, la multiplicació creuada i la recerca del mínim comú denominador, són formes molt útils per moure variables i resoldre equacions racionals.
Pas
Mètode 1 de 2: Multiplicació creuada
Pas 1. Si cal, reordeneu l'equació per obtenir una fracció en un costat de l'equació
La multiplicació creuada és una manera ràpida i senzilla de resoldre equacions racionals. Malauradament, aquest mètode només es pot utilitzar per a equacions racionals que contenen almenys una equació racional o fracció a cada costat de l'equació. Si la vostra equació no compleix aquests requisits de productes transversals, és possible que hàgiu d'utilitzar operacions algebraiques per moure les parts als llocs adequats.
-
Per exemple, l’equació (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 es pot posar fàcilment en forma de producte creuat afegint x / (- 2) als dos costats de l’equació, de manera que esdevingui (x + 3) / 4 = x / (- 2).
Tingueu en compte que els nombres decimals i enters es poden convertir en fraccions donant el denominador 1. (x + 3) / 4 - 2, 5 = 5, per exemple, es pot reescriure com (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, la qual cosa satisfà la condició de multiplicació creuada
- Algunes equacions racionals no es poden reduir fàcilment a una forma que té una fracció o equació racional a cada costat. En aquests casos, utilitzeu el mateix enfocament de mínim denominador.
Pas 2. Multiplicar la creu
Multiplicar creuat significa multiplicar un dels numeradors d’una fracció pel denominador d’una altra fracció i viceversa. Multiplicar el numerador de la fracció de l’esquerra pel denominador de la fracció de la dreta. Repetiu amb el denominador dret amb el denominador esquerre.
La multiplicació creuada funciona d’acord amb els principis algebraics bàsics. Les equacions racionals i altres fraccions es poden convertir en no fraccions multiplicant-les pel denominador. El producte creuat és bàsicament una manera ràpida de multiplicar els dos costats d’una equació per tots dos denominadors. No creure? Proveu-ho: obtindreu el mateix resultat després de simplificar-lo
Pas 3. Feu que els dos productes siguin iguals
Després de la multiplicació creuada, obtindreu dos resultats de multiplicació. Feu que siguin iguals entre si i simplifiqueu per fer l’equació el més senzilla possible.
Per exemple, si la vostra equació racional original era (x + 3) / 4 = x / (- 2), després de multiplicar la creu, la vostra nova equació es convertirà en -2 (x + 3) = 4x. Si voleu, també podeu escriure-ho com a -2x - 6 = 4x
Pas 4. Cerqueu el valor de la vostra variable
Utilitzeu operacions algebraiques per trobar el valor de la variable de la vostra equació. Recordeu que, si x apareix als dos costats de l'equació, heu de sumar o restar x de tots dos costats de l'equació per deixar x en un sol costat de l'equació.
En el nostre exemple, podem dividir els dos costats de l’equació per -2, de manera que x + 3 = -2x. Restar x d’ambdós costats dóna 3 = -3x. Finalment, dividint els dos costats per -3, el resultat es convertirà en -1 = x, que es pot escriure com x = -1. Hem trobat el valor de x, resolent la nostra equació racional
Mètode 2 de 2: Trobar el denominador mínim comú
Pas 1. Conegueu l'hora exacta per utilitzar el mateix denominador més petit
Es pot utilitzar el mateix denominador més petit per simplificar equacions racionals, fent-les consultables per a valors variables. Trobar el mínim comú denominador és una bona idea si la vostra equació racional no es pot escriure fàcilment en termes d’una fracció (i només d’una fracció) a cada costat de l’equació. Per resoldre equacions racionals de tres o més parts, és útil el mínim comú denominador. No obstant això, per resoldre una equació racional amb només dues parts, és més ràpid utilitzar un producte creuat.
Pas 2. Comproveu el denominador de cada fracció
Identifiqueu el nombre més petit que pot dividir cada denominador i produïu-ne un sencer. Aquest nombre és el mínim comú denominador de la vostra equació.
- De vegades, el denominador comú més petit, és a dir, el nombre més petit que té tots els factors del denominador, és clarament visible. Per exemple, si la vostra equació és x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, no és difícil veure el nombre més petit que té un factor de 3, 2 i 6, que és el número 6.
- Tanmateix, sovint, el denominador menys comú d'una equació racional no és clarament visible. En un cas com aquest, proveu de comprovar múltiples del denominador més gran fins que trobeu un nombre que tingui un factor de tots els altres denominadors més petits. Sovint, el denominador menys comú és el producte de dos denominadors. Per exemple, a l’equació x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, el mínim comú denominador és 8 * 9 = 72.
- Si un o més dels denominadors de la vostra fracció tenen variables, aquest procés és més difícil, però possible de fer. En un cas com aquest, el mínim comú denominador és una equació (amb una variable) divisible per la resta de denominadors. Per exemple, a l’equació 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), el mínim comú denominador és 3x (x-1) perquè qualsevol denominador pot dividir-lo; dividir per (x-1) dóna 3x, dividir per 3x dóna (x-1), i dividir per x dóna 3 (x-1).
Pas 3. Multiplicar cada fracció de l’equació racional per 1
Multiplicar cada part per 1 sembla inútil. Però aquí teniu el truc. 1 es pot definir com qualsevol nombre que sigui igual tant en el numerador com en el denominador, com ara -2/2 i 3/3, que és la forma correcta d’escriure 1. Aquest mètode aprofita la definició alternativa. Multipliqueu cada fracció de la vostra equació racional per 1, escrivint el número 1 que, multiplicat pel denominador, dóna el mínim comú denominador.
- En el nostre exemple bàsic, multiplicarem x / 3 per 2/2 per obtenir 2x / 6 i multiplicarem 1/2 per 3/3 per obtenir 3/6. 2x + 1/6 ja té el mateix denominador més petit, que és 6, de manera que podem multiplicar-lo per 1/1 o deixar-lo en pau.
- En el nostre exemple amb una variable en el denominador de la fracció, el procés és una mica més complicat. Com que el nostre denominador més petit és 3x (x-1), multiplicem cada equació racional per una cosa que retorni 3x (x-1). Multiplicarem 5 / (x-1) per (3x) / (3x) que dóna 5 (3x) / (3x) (x-1), multiplicem 1 / x per 3 (x-1) / 3 (x- 1) que dóna 3 (x-1) / 3x (x-1), i multiplicant 2 / (3x) per (x-1) / (x-1) es dóna 2 (x-1) / 3x (x- 1).
Pas 4. Simplifiqueu i busqueu el valor de x
Ara, com que cada part de la vostra equació racional té el mateix denominador, podeu eliminar-ne el denominador de la vostra equació i resoldre el numerador. Multipliqueu els dos costats de l'equació per obtenir el valor del numerador. A continuació, utilitzeu operacions algebraiques per trobar el valor de x (o la variable que vulgueu resoldre) en un costat de l'equació.
- En el nostre exemple bàsic, després de multiplicar totes les parts per la forma alternativa 1, obtenim 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Es poden afegir dues fraccions si tenen el mateix denominador, de manera que podem simplificar aquesta equació a (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 sense canviar el valor. Multipliqueu els dos costats per 6 per eliminar el denominador, de manera que el resultat és 2x + 3 = 3x + 1. Resteu 1 dels dos costats per obtenir 2x + 2 = 3x i resteu 2x dels dos costats per obtenir 2 = x, que es pot escriure com x = 2.
- En el nostre exemple amb una variable al denominador, la nostra equació després de multiplicar per 1 es converteix en 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Multiplicar totes les parts pel mateix denominador més petit, permetent-nos ometre el denominador, passa a ser 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Això també s'aplica a 5x = 3x - 3 + 2x -2, que simplifica a 15x = x - 5. Restar x d'ambdós costats dóna 14x = -5, que, al final, simplifica a x = -5/14.
Consells
- Quan hàgiu resolt la variable, comproveu la resposta connectant el valor de la variable a l'equació original. Si el valor de la variable és correcte, podeu simplificar l'equació original en una afirmació senzilla que sempre sigui igual a 1 = 1.
- Tingueu en compte que podeu escriure qualsevol polinomi com una equació racional; poseu-lo per sobre del denominador 1. Així doncs, x + 3 i (x + 3) / 1 tenen el mateix valor, però la segona equació es pot classificar com una equació racional perquè s’escriu com una fracció.
