Els dies previs a la inventació de les calculadores, els estudiants i els professors havien de calcular les arrels quadrades manualment. S’han desenvolupat diverses maneres de superar aquest difícil procés. Algunes maneres ofereixen una estimació aproximada i d'altres donen un valor exacte. Per obtenir informació sobre com trobar l’arrel quadrada d’un nombre amb només operacions senzilles, consulteu el pas 1 següent per començar.
Pas
Mètode 1 de 2: utilitzar la factorització primera
Pas 1. Divideix el número en factors quadrats perfectes
Aquest mètode utilitza els factors d’un nombre per trobar l’arrel quadrada del nombre (segons el nombre, la resposta pot ser un nombre exacte o una aproximació aproximada). Els factors d’un nombre són un conjunt d’altres nombres que, multiplicats, produeixen aquest nombre. Per exemple, es podria dir que els factors de 8 són 2 i 4 perquè 2 × 4 = 8. Mentrestant, els quadrats perfectes són nombres enters que són el producte d'altres nombres enters. Per exemple, 25, 36 i 49 són quadrats perfectes perquè són 5 respectivament2, 62i 72. Com haureu endevinat, els factors quadrats perfectes són factors que també són quadrats perfectes. Per començar a trobar l’arrel quadrada mitjançant la factorització primera, primer intenteu simplificar el vostre número fins als seus factors quadrats perfectes.
- Utilitzem un exemple. Volem trobar l’arrel quadrada de 400 manualment. Per començar, dividirem el nombre en els seus factors quadrats perfectes. Com que 400 és múltiple de 100, sabem que 400 és divisible per 25: un quadrat perfecte. Amb una divisió ràpida de les ombres, trobem que 400 dividits per 25 equivalen a 16. Casualment, 16 també és un quadrat perfecte. Per tant, els factors quadrats perfectes de 400 són 25 i 16 perquè 25 × 16 = 400.
- El podem escriure com: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Pas 2. Cerqueu l'arrel quadrada dels vostres factors quadrats perfectes
La propietat de multiplicació de l'arrel quadrada indica que per a qualsevol nombre a i b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Degut a aquesta propietat, ara podem trobar l’arrel quadrada dels nostres factors quadrats perfectes i multiplicar-los per obtenir la nostra resposta.
-
En el nostre exemple, trobarem les arrels quadrades de 25 i 16. Vegeu a continuació:
- Arrel (25 × 16)
- Arrel (25) × Arrel (16)
-
5 × 4 =
Pas 20.
Pas 3. Si no es pot tenir en compte el número, simplifiqueu la resposta a la forma més senzilla
A la vida real, sovint els números que necessiteu per trobar l’arrel quadrada de no són nombres enters agradables amb factors quadrats perfectes evidents com 400. En aquests casos, és possible que no trobem la resposta correcta. Tanmateix, en trobar tants factors quadrats perfectes com pugueu trobar, podeu trobar la resposta en forma d’arrel quadrada més petita, senzilla i fàcil de calcular. Per fer-ho, reduïu el número a una combinació de factors quadrats perfectes i factors quadrats imperfectes, i després simplifiqueu-los.
-
Utilitzem l’arrel quadrada de 147 com a exemple. 147 no és un producte de dos quadrats perfectes, de manera que no podem obtenir el valor enter exacte de l’anterior. Tanmateix, 147 és el producte d’un quadrat perfecte i d’un altre número - 49 i 3. Podem utilitzar aquesta informació per escriure la nostra resposta en la seva forma més senzilla de la següent manera:
- Arrel (147)
- = Arrel (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × arrel (3)
Pas 4. Si cal, estimeu-ho
Amb l’arrel quadrada en la forma més senzilla, sol ser bastant fàcil obtenir una estimació aproximada de la resposta numèrica endevinant el valor de l’arrel quadrada restant i multiplicant-la. Una manera d’orientar la vostra suposició és buscar quadrats perfectes que siguin superiors o inferiors al nombre de l’arrel quadrada. Notareu que el valor decimal del número de l’arrel quadrada es troba entre els dos números, de manera que podeu endevinar el valor entre els dos números.
-
Tornem al nostre exemple. perquè 22 = 4 i 12 = 1, sabem que l'arrel (3) està entre 1 i 2, probablement més a prop de 2 que 1. Estimem 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Si comprovem la nostra resposta a la calculadora, podem veure que la nostra resposta s’acosta força a la resposta real que és 12, 13.
Això també s'aplica a números més grans. Per exemple, Root (35) es pot aproximar entre 5 i 6 (possiblement més a prop de 6). 52 = 25 i 62 = 36. 35 oscil·la entre 25 i 36, de manera que l’arrel quadrada ha d’estar entre 5 i 6. Com que 35 només és inferior a 36, podem dir amb seguretat que l’arrel quadrada és lleugerament inferior a 6. Si es comprova amb una calculadora, dóna'ns la resposta és d'aproximadament 5, 92 - tenim raó.
Pas 5. Alternativament, reduïu el vostre nombre als factors menys comuns com a primer pas
No és necessari trobar els factors dels quadrats perfectes si es poden determinar fàcilment els factors primers d’un nombre (factors que també són nombres primers). Escriviu el vostre número en funció dels factors menys comuns. A continuació, busqueu els parells de nombres primers que coincideixin amb els vostres factors. Quan trobeu dos factors primers que són iguals, traieu aquests dos números de l'arrel quadrada i col·loqueu un d'aquests números fora de l'arrel quadrada.
-
Per exemple, trobeu l'arrel quadrada de 45 mitjançant aquest mètode. Sabem que 45 × 5 i sabem que per sota de 9 = 3 × 3. Per tant, podem escriure la nostra arrel quadrada en funció de factors com aquest: Sqrt (3 × 3 × 5). Simplement traieu els dos 3 i poseu-ne un 3 fora de l'arrel quadrada per simplificar l'arrel quadrada a la forma més senzilla: (3) Arrel (5).
A partir d’aquí serem fàcils d’estimar.
-
Com a últim exemple de problema, intentem trobar l’arrel quadrada de 88:
- Arrel (88)
- = Arrel (2 × 44)
- = Arrel (2 × 4 × 11)
- = Arrel (2 × 2 × 2 × 11). Tenim uns 2 a la nostra arrel quadrada. Com que 2 és un nombre primer, podem eliminar un parell de 2 i posar-ne un fora de l’arrel quadrada.
-
= La nostra arrel quadrada en la seva forma més senzilla és (2) Sqrt (2 × 11) o (2) Arrel (2) Arrel (11).
A partir d’aquí podem estimar Sqrt (2) i Sqrt (11) i trobar la resposta aproximada com vulguem.
Mètode 2 de 2: trobar manualment l’arrel quadrada
Utilitzant l’algorisme de divisió llarga
Pas 1. Separeu els dígits del vostre número en parells
Aquest mètode utilitza un procés similar a la divisió llarga per trobar l’arrel quadrada exacta dígit per dígit. Tot i que no és obligatori, pot ser que sigui més fàcil dur a terme aquest procés si organitzeu visualment el vostre lloc de treball i els vostres números en parts fàcils de treballar. Primer, dibuixeu una línia vertical que divideixi la vostra àrea de treball en dues seccions, i després dibuixeu una línia horitzontal més curta a prop de la part superior dreta per dividir la secció dreta en una secció superior més petita i una secció inferior més gran. A continuació, separeu els dígits en parells, començant pel punt decimal. Per exemple, seguint aquesta regla, 79.520.789.182, 47897 es converteix en "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Escriviu el vostre número a la part superior esquerra.
Per exemple, intentem calcular l'arrel quadrada de 780, 14. Dibuixeu dues línies per dividir el lloc de treball de la manera anterior i escriviu "7 80. 14" a la part superior esquerra. No importa si el número més a l'esquerra és un número únic i no un parell de números. Escrivireu la vostra resposta (arrel quadrada 780, 14) a la part superior dreta
Pas 2. Cerqueu el nombre enter més gran el valor quadrat del qual sigui menor o igual al nombre (o parell de nombres) que hi ha a l'extrem esquerre
Comenceu a l'extrem esquerre del número, tant per parells de números com per números simples. Trobeu el quadrat perfecte més gran que sigui menor o igual a aquest nombre i, a continuació, trobeu l’arrel quadrada d’aquest quadrat perfecte. Aquest número és n. Escriviu n a la part superior dreta i escriviu el quadrat de n al quadrant inferior dret.
En el nostre exemple, l’extrema esquerra és el número 7. Perquè sabem que 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, podem dir que n = 2 perquè 2 és l’enter més gran el valor quadrat del qual és inferior o igual a 7. Escriviu 2 al quadrant superior dret. Aquest és el primer dígit de la nostra resposta. Escriviu 4 (valor quadrat de 2) al quadrant inferior dret. Aquest número és important per al següent pas.
Pas 3. Resteu el número que acabeu de calcular del parell més esquerre
Com passa amb la divisió llarga, el següent pas és restar el valor del quadrat que acabem de trobar de la part que acabem d’analitzar. Escriviu aquest número a la primera part i resteu-lo, escrivint la vostra resposta a sota.
- En el nostre exemple, escriurem 4 per sota de 7 i, a continuació, la restarem. Aquesta resta dóna una resposta
Pas 3..
Pas 4. Suprimiu el següent parell
Desplaceu-vos cap avall a la següent secció del número per al qual cerqueu l'arrel quadrada, al costat del valor de resta que acabeu de trobar. A continuació, multipliqueu el nombre del quadrant superior dret per dos i escriviu la resposta al quadrant inferior dret. Al costat del número que acabeu d’anotar, deixeu un espai per al problema de multiplicació que faràs al següent pas escrivint '"_ × _ ="'.
En el nostre exemple, el següent parell dels nostres números és "80". Escriviu "80" al costat de 3 al quadrant esquerre. A continuació, multipliqueu el número de la part superior dreta per dos. Aquest número és 2, de manera que 2 × 2 = 4. Escriviu "'4"' al quadrant inferior dret, seguit de _×_=.
Pas 5. Empleneu els espais en blanc del quadrant dret
Heu d'emplenar tots els espais en blanc que acabeu d'escriure al quadrant dret amb el mateix número enter. Aquest enter ha de ser el nombre enter més gran que faci que el producte del quadrant dret sigui inferior o igual al nombre actualment a l'esquerra.
En el nostre exemple, omplim els espais en blanc amb 8, donant lloc a 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Aquest valor és superior a 384. Per tant, 8 és massa gran, però pot ser que 7 funcioni. Escriu 7 als espais en blanc i resol: 4 (7) × 7 = 329. 7 és un nombre correcte perquè 329 és inferior a 380. Escriu 7 al quadrant superior dret. Aquest és el segon dígit de l’arrel quadrada de 780, 14
Pas 6. Resteu el número que acabeu de calcular del número que hi ha ara a l'esquerra
Continueu amb la cadena de restes mitjançant el mètode de divisió llarga. Agafeu el producte del problema al quadrant dret i resteu-lo del número que hi ha ara a l'esquerra, mentre escriviu les respostes a continuació.
En el nostre exemple, restarem 329 de 380, cosa que dóna el resultat 51.
Pas 7. Repetiu el pas 4
Obteniu la següent part del número per al qual cerqueu l'arrel quadrada. Quan arribeu al punt decimal del número, escriviu el punt decimal a la resposta al quadrant superior dret. A continuació, multipliqueu el número de la part superior dreta per 2 i escriviu-lo al costat del problema de multiplicació en blanc ("_ × _") tal com s'ha indicat anteriorment.
En el nostre exemple, ja que ara estem tractant amb el punt decimal a 780, 14, escriviu el punt decimal després de la resposta actual a la part superior dreta. A continuació, baixeu el parell següent (14) al quadrant esquerre. El doble que el número de la part superior dreta (27) és igual a 54, així que escriviu "54 _ × _ =" al quadrant inferior dret
Pas 8. Repetiu els passos 5 i 6
Cerqueu el dígit més gran per omplir els espais en blanc de la dreta, que dóna una resposta inferior o igual al nombre actualment a l'esquerra. A continuació, resol el problema.
En el nostre exemple, 549 × 9 = 4941, que és menor o igual al nombre de l'esquerra (5114). 549 × 10 = 5490 és massa gran, de manera que 9 és la vostra resposta. Escriviu 9 com a següent dígit al quadrant superior dret i resteu el producte del número de l’esquerra: 5114 menys 4941 és igual a 173
Pas 9. Per continuar comptant els dígits, baixeu el parell de zeros a l'esquerra i repetiu els passos 4, 5 i 6
Per obtenir una precisió més gran, continueu aquest procés per trobar els centenars, milers i més llocs de la vostra resposta. Continueu fent servir aquest cicle fins que trobeu la posició decimal que voleu.
Comprensió del procés
Pas 1. Imagineu el nombre del qual heu calculat l'arrel quadrada com l'àrea S d'un quadrat
Com que l’àrea d’un quadrat és P2 on P és la longitud d’un dels costats i, en intentar trobar l’arrel quadrada del vostre número, realment intenteu calcular la longitud P d’aquest costat del quadrat.
Pas 2. Determineu les variables de lletra per a cada dígit de la resposta
Estableix la variable A com a primer dígit de P (l’arrel quadrada que estem intentant calcular). B serà el segon dígit, C el tercer dígit, etc.
Pas 3. Determineu les variables de lletra per a cada part del número inicial
Estableix la variable S.a per al primer parell de dígits de S (el vostre valor inicial), Sb per al segon parell de dígits, etc.
Pas 4. Comprendre la relació entre aquest mètode i la divisió llarga
Aquest mètode per trobar l'arrel quadrada és bàsicament un problema de divisió llarga que divideix el vostre número inicial per l'arrel quadrada, donant-vos l'arrel quadrada de la resposta. Igual que en el problema de la divisió llarga, només us interessa el següent dígit de cada pas. D’aquesta manera, només us interessen els dos dígits següents de cada pas (que és el següent dígit de cada pas de l’arrel quadrada).
Pas 5. Trobeu el nombre més gran el valor quadrat de la qual sigui inferior o igual a Sa.
El primer dígit d’A en la nostra resposta és l’enter més gran el valor quadrat del qual no supera Sa (és a dir, A de manera que A² Sa <(A + 1) ²). En el nostre exemple, Sa = 7 i 2² 7 <3², de manera que A = 2.
Tingueu en compte que, per exemple, si voleu dividir 88962 per 7 mitjançant una divisió llarga, els primers passos són pràcticament els mateixos: veureu el primer dígit de 88962 (que és 8) i cerqueu el dígit més gran que, multiplicat per 7, és inferior o igual a 8 Bàsicament, busqueu d de manera que 7 × d 8 <7 × (d + 1). En aquest cas, d serà igual a 1
Pas 6. Imagineu el valor del quadrat sobre l’àrea en què esteu a punt de començar a treballar
La vostra resposta, l'arrel quadrada del vostre número inicial, és P, que descriu la longitud del quadrat amb l'àrea S (el vostre número inicial). Les vostres qualificacions per A, B, C, representen els dígits del valor de P. Una altra manera de dir-ho és 10A + B = P (per a una resposta de dos dígits), 100A + 10B + C = P (per a tres resposta de dígits), etc.
En el nostre exemple, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Recordeu que 10A + B representa la nostra resposta, P, amb B en la posició uns i A en la posició de desenes. Per exemple, amb A = 1 i B = 2, llavors 10A + B és igual a 12. (10A + B) ² és l'àrea total del quadrat, mentre que 100A² és l'àrea de la plaça més gran, B² és l'àrea del quadrat més petit que hi ha i 10A × B és l'àrea dels dos rectangles restants. En fer aquest llarg i enrevessat procés, trobem l’àrea total d’un quadrat sumant les àrees dels quadrats i rectangles de l’interior.
Pas 7. Restar A² de Sa.
Disminueix un parell de dígits (Sb) de S. Valor de Sa Sb prop de l'àrea total del quadrat, que acabeu d'utilitzar per restar el quadrat interior més gran. La resta es pot considerar com el número N1, que vam obtenir al pas 4 (N1 = 380 al nostre exemple). N1 és igual a 2 i vegades: 10A × B + B² (àrea dels dos rectangles més l'àrea del quadrat més petit).
Pas 8. Trobeu N1 = 2 × 10A × B + B², que també s’escriu com a N1 = (2 × 10A + B) × B
En el nostre exemple, ja coneixeu N1 (380) i A (2), de manera que heu de trobar B. Probablement B no sigui un nombre enter, de manera que realment necessiteu trobar el nombre enter més gran B tal que (2 × 10A + B) × B N1. Per tant, teniu: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Pas 9. Acabeu
Per resoldre aquesta equació, multiplica A per 2, desplaça el resultat a la posició de les desenes (l'equivalent de multiplicar per 10), posa B en la posició de les ones i multiplica el nombre per B. En altres paraules, resol (2 × 10A + B) × B. Això és exactament el que feu quan escriviu "N_ × _ =" (amb N = 2 × A) al quadrant inferior dret del pas 4. Al pas 5, trobareu el nombre enter més gran B que correspon a el número que hi ha a sota de manera que (2 × 10A + B) × B N1.
Pas 10. Resteu l'àrea (2 × 10A + B) × B de l'àrea total
Aquesta resta resulta en l'àrea S- (10A + B) ² que no s'ha calculat (i que s'utilitzarà per calcular el següent dígit de la mateixa manera).
Pas 11. Per calcular el següent dígit, C, repetiu el procés
Baixeu el següent parell (Sc) de S per obtenir N2 a l'esquerra i trobar la C més gran de manera que tingueu (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (equivalent a escriure el doble del número de dos dígits "AB" seguit de "_ × _ =". Cerqueu el dígit coincident més gran als espais en blanc, que dóna una resposta inferior o igual a N2, com abans.
Consells
- Moure un punt decimal per un múltiple de dos dígits en un nombre (múltiple de 100), significa moure un punt decimal per un múltiple d’un dígit a la seva arrel quadrada (múltiple de 10).
- En aquest exemple, 1,73 es pot considerar un "residu": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Aquest mètode es pot utilitzar per a qualsevol base, no només per a la base 10 (decimal).
- Podeu utilitzar el càlcul que us sigui més convenient. Algunes persones escriuen el resultat per sobre del número inicial.
- Una forma alternativa d’utilitzar fraccions repetides és seguir aquesta fórmula: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + …))). Per exemple, per calcular l'arrel quadrada de 780, 14, l'enter el valor al quadrat del qual és més proper a 780, 14 és 28, de manera que z = 780, 14, x = 28 i y = -3, 86. Introducció de valors i calculant estimacions només per a x + y / (2x) produeix (en termes més senzills) 78207/20800 o aproximadament 27, 931 (1); el proper trimestre, 4374188/156607 o aproximadament el 27, 930986 (5). Cada terme afegeix aproximadament 3 xifres decimals a la precisió del nombre anterior de xifres decimals.
