El teorema de Pitagòrica descriu les longituds dels costats d’un triangle rectangle d’una manera elegant i pràctica, de manera que aquest teorema encara s’utilitza àmpliament. Aquest teorema afirma que per a qualsevol triangle rectangle, la suma dels quadrats dels costats no angulars és igual al quadrat de la hipotenusa. En altres paraules, per a un triangle rectangle amb costats perpendiculars a i b i hipotenusa c, a2 + b2 = c2.
El teorema de Pitàgores és un dels pilars bàsics de la geometria elemental. Hi ha innombrables aplicacions que fan servir aquest teorema, per exemple, per facilitar la cerca de la distància entre dos punts en un pla de coordenades.
Pas
Mètode 1 de 2: Trobar els costats d’un triangle dret
Pas 1. Assegureu-vos que el vostre triangle sigui un triangle rectangle
El teorema de Pitàgores només s'aplica als triangles rectangles, de manera que, abans de continuar, és molt important assegurar-se que els seus triangles s'ajusten a les propietats dels triangles rectangles. Afortunadament, hi ha un factor que pot indicar que el vostre triangle és un triangle rectangle. El triangle hauria de tenir un angle de 90 graus.
Com a signe, els triangles rectangles sovint es marquen amb petits quadrats per marcar angles de 90 graus, sense utilitzar "corbes" corbes. Cerqueu aquesta marca en concret a la cantonada del triangle
Pas 2. Doneu les variables a, b i c per als costats del vostre triangle
En el teorema de Pitagòrica, les variables a i b representen els costats que es troben al triangle rectangle, mentre que la variable c representa la hipotenusa: el costat llarg oposat a l'angle recte. Per tant, per començar, marqueu els costats curts del vostre triangle amb les variables a i b (no importa si els canvieu) i marqueu la hipotenusa amb la variable c.
Pas 3. Decidiu quin costat del triangle voleu resoldre
El teorema de Pitagòrica permet als matemàtics trobar la longitud de qualsevol costat d’un triangle rectangle sempre que coneguin les longituds dels altres dos costats. Determineu quin costat es desconeix: a, b i / o c. Si es desconeix la longitud d’un dels vostres costats, esteu a punt per seguir endavant.
- Per exemple, sabem que la longitud de la hipotenusa d’un triangle és 5 i la longitud d’un dels altres costats és 3, però no estem segurs de la longitud del tercer costat. En aquest cas, sabem que busquem la longitud del tercer costat i, ja que sabem les longituds dels altres dos, ho podem resoldre. Treballarem sobre aquest problema amb els passos següents.
- Si no coneixeu la longitud de dos costats, heu de conèixer un dels costats per poder utilitzar el teorema de Pitàgores. Les funcions trigonomètriques bàsiques us poden ajudar si coneixeu un costat d’un triangle que no està inclinat.
Pas 4. Connecteu els valors de doble cara que ja coneixeu a l'equació
Connecteu les longituds dels costats del triangle a l’equació a2 + b2 = c2. Recordeu que a i b són costats no inclinats, mentre que c és la hipotenusa.
En el nostre exemple, sabem la longitud d’un dels costats i la hipotenusa (3 i 5), de manera que l’equació esdevé 3² + b² = 5²
Pas 5. Quadrat
Per resoldre la vostra equació, comenceu per quadrar els costats coneguts. Com a alternativa, si ho trobeu més fàcil, podeu deixar les longituds laterals quadrades i quadrar-les més tard.
-
En el nostre exemple, farem quadrats 3 i 5 perquè obtinguem
Pas 9. da
Pas 25.. Podem escriure l’equació com 9 + b² = 25.
Pas 6. Moveu la variable desconeguda a l'altre costat de l'equació
Si cal, utilitzeu operacions algebraiques bàsiques per fer que la variable desconeguda passi a l'altre costat de l'equació i el quadrat de les altres dues variables a l'altre costat. Si voleu trobar la longitud de la hipotenusa, c ja està a l’altre costat de l’equació, de manera que no haureu de fer res per moure-la.
En el nostre exemple, l'equació actual és 9 + b² = 25. Per moure b², resteu els dos costats de l'equació per 9, de manera que el resultat és b² = 16
Pas 7. Arrel quadrada d'ambdós costats de l'equació
Ara només hi ha una variable quadrada per un costat i el número per l'altre. Arrel quadrada dels dos costats per trobar la longitud del costat desconegut.
-
En el nostre exemple, b² = 16, prenent l'arrel quadrada d'ambdós costats dóna b = 4. Per tant, podem dir que la longitud del costat desconegut del triangle és
Pas 4..
Pas 8. Utilitzeu el teorema de Pitàgores per trobar els costats d’un veritable triangle rectangle
La raó per la qual el Teorema de Pitàgores és àmpliament utilitzat avui en dia és que es pot aplicar a innombrables situacions pràctiques. Apreneu a conèixer triangles rectangles a la vida real: en qualsevol situació en què dos objectes o línies rectes es troben amb un angle recte i el tercer objecte o línia uneix els dos objectes o línies en diagonal, podeu utilitzar el teorema de Pitàgores per trobar la longitud del costat l'altre, si es coneixen les longituds dels altres dos costats.
-
Provem un exemple real que és una mica més difícil. Una escala es recolza en un edifici. La distància des de la part inferior de les escales fins a la paret és de 5 metres. L’alçada de les escales arriba als 20 metres. Quant de temps té l’escala?
-
A 5 metres de la paret i 20 metres d’alçada ens indica la longitud dels costats del triangle. Atès que la paret i el terra (suposat) formen un angle recte i l’escala està recolzada en diagonal contra la paret, aquesta disposició es pot considerar un triangle rectangle amb longituds laterals a = 5 i b = 20. La longitud de l’escala és la hipotenusa, de manera que no es coneix el valor de c. Utilitzem el teorema de Pitàgores:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- arrel (425) = c
- c = 20,6. La longitud aproximada de l’escala és 20,6 metres.
-
Mètode 2 de 2: càlcul de la distància entre dos punts del pla X-Y
Pas 1. Cerqueu dos punts al pla XY
El teorema de Pitàgores es pot utilitzar fàcilment per calcular la distància recta entre dos punts del pla X-Y. Tot el que heu de saber són les coordenades x i y dels dos punts. Normalment, aquestes coordenades s’escriuen juntes en la forma (x, y).
Per trobar la distància entre aquests dos punts, considerarem cada punt com un dels angles no rectes d’un triangle rectangle. En fer-ho, serà fàcil trobar les longituds dels costats a i b, i després calcular la hipotenusa c, que és la distància entre els dos punts
Pas 2. Dibuixa els teus dos punts a la imatge
En un pla X-Y regular, cada punt (x, y), x representa una coordenada horitzontal i y representa una coordenada vertical. Podeu trobar la distància entre els dos punts sense dibuixar-lo, però en fer-ho obtindreu una imatge visual que podeu utilitzar per veure si la resposta és correcta.
Pas 3. Cerqueu la longitud del costat no inclinat del triangle
Utilitzant els dos punts com a angles del triangle adjacent a la hipotenusa, trobeu les longituds dels costats a i b del triangle. Podeu fer-ho amb una imatge o amb la fórmula | x1 - x2| per al costat horitzontal i | y1 - i2| per al costat vertical, amb (x1, y1) com a primer punt i (x2, y2) com a segon punt.
-
Siguin els nostres dos punts (6, 1) i (3, 5). La longitud del costat horitzontal del nostre triangle és:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Pas 3.
-
La longitud del costat vertical és:
- | y1 - i2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Pas 4.
- Per tant, en el nostre triangle rectangle, costat a = 3 i costat b = 4.
Pas 4. Utilitzeu el teorema de Pitàgores per trobar la longitud de la hipotenusa
La distància entre dos punts és la longitud de la hipotenusa del triangle dels dos costats que acaba de trobar. Utilitzeu el teorema de Pitàgores per trobar la hipotenusa, on a és la longitud del primer costat i b és la longitud del segon costat.
-
En el nostre exemple, fem servir els punts (3, 5) i (6, 1) les longituds dels costats són 3 i 4, de manera que podem trobar la hipotenusa de la següent manera:
-
- (3) ² + (4) ² = c²
- c = arrel (9 + 16)
- c = arrel (25)
-
c = 5. La distància entre (3, 5) i (6, 1) és
Pas 5..
-
Consells
-
La hipotenusa sempre és:
- oposat a l'angle recte (sense tocar l'angle recte)
- costat més llarg en un triangle rectangle
- anomenada c en el teorema de Pitàgores
- arrel (x) significa l'arrel quadrada de x.
- Recordeu que sempre reviseu les vostres respostes. Si la vostra resposta sembla incorrecta, torneu-ho a provar i torneu-ho a provar.
- Si el triangle no és un triangle rectangle, necessiteu informació addicional, no només les longituds dels altres dos costats.
- Una altra manera de comprovar: el costat més llarg és oposat a l'angle més gran i el costat més curt és oposat a l'angle més petit.
- Les xifres són la clau per escriure els valors correctes per a, b i c. Si esteu treballant en un problema de la història, assegureu-vos d’escriure primer el problema en forma d’imatge.
- Si només coneixeu la longitud d’un costat, el teorema de Pitàgores no funciona. Proveu d'utilitzar trigonometria (sin, cos, tan) o relacions 30-60-90 / 45-45-90.
