La divisió binària es pot resoldre mitjançant el mètode de divisió llarga, que és un mètode que us pot ensenyar el procés de divisió vosaltres mateixos i també a crear programes informàtics senzills. A més, els mètodes complementaris de resta iterativa poden proporcionar enfocaments que potser no coneixeu, tot i que no s’utilitzen habitualment per a la programació. Els llenguatges automàtics solen utilitzar algoritmes d’aproximació per ser més eficients, però això no es descriu en aquest article.
Pas
Mètode 1 de 2: utilitzar divisió llarga
Pas 1. Torneu a aprendre la divisió decimal llarga
Si fa temps que no heu utilitzat la divisió llarga al sistema de números decimal (base deu) regular, torneu a revisar els conceptes bàsics mitjançant l'exemple de problema 172 dividit per 4. En cas contrari, ometeu aquest pas i aneu directament al següent pas per explorar un procés similar amb nombres binaris.
- Numerador dividit per denominador, i el resultat és quocient.
- Compareu el denominador amb el primer número del numerador. Si el denominador és més gran, continueu afegint números al numerador fins que el denominador sigui més petit. (Per exemple, si calculem 172 dividit per 4, comparem 4 amb 1, sabem que 4 és més gran que 1, així que procediu a comparar 4 amb 17.)
- Escriviu el primer dígit del quocient a sobre de l’últim numerador utilitzat a la comparació. Quan comparem 4 amb 17, veiem que 4 està cobert per 17 quatre vegades, de manera que escrivim 4 com a primer número del quocient, per sobre de 7.
- Multiplicar i restar per obtenir la resta. Multipliqueu el quocient pel denominador, que vol dir 4 × 4 = 16. Escriviu 16 per 17 i resteu 17 per 16 per obtenir la resta, que és 1.
- Repetiu el procés. Tornem a comparar el denominador, que és 4, amb el següent número, que és 1, notem que 4 és més gran que 1 i, a continuació, "restem" el número següent del numerador, continuem comparant 4 amb 12. Veiem que 4 està cobert per 12 tres vegades sense residu, de manera que escrivim 3 com a número següent del quocient. La resposta és 43.
Pas 2. Prepareu un problema de llarga divisió en binari
Prenem 10101 11. Escriviu com a problema per a la divisió llarga, fent servir 10101 com a numerador i 11 com a denominador. Deixeu espai a sobre com a lloc per escriure el quocient i a sota com a lloc per escriure càlculs.
Pas 3. Compareu el denominador amb el primer dígit del numerador
Funciona de la mateixa manera que la divisió llarga en decimal, però en realitat és molt més fàcil en el sistema de números binaris. En binari només hi ha dues opcions, o bé no es pot dividir el nombre pel denominador (que significa 0) o el denominador només s’inclou una vegada (que significa 1):
11> 1, de manera que 11 no està "cobert per" 1. Escriviu el número 0 com a primer número del quocient (a sobre del primer dígit del numerador)
Pas 4. Treballeu el número següent i repetiu fins obtenir el número 1
A continuació es detallen els passos següents del nostre exemple:
- Deriveu el número següent del numerador. 11> 10. Escriviu 0 al quocient.
- Baixeu el número següent. 11 <101. Escriviu el número 1 al quocient.
Pas 5. Trobeu la resta de la divisió
Com passa amb els decimals de divisió llarga, multiplica el nombre que acabem d’obtenir (1) pel denominador (11) i escriu el resultat sota el numerador paral·lel al nombre que acabem de calcular. Al sistema de nombres binaris, podem resumir aquest procés, perquè 1 x el denominador sempre és el mateix que el denominador:
- Escriviu el denominador a sota del numerador. Aquí, escriviu 11 paral·lels als tres primers dígits del numerador (101).
- Compteu 101 - 11 per obtenir la resta de la divisió, que és 10. Vegeu com restar nombres binaris si cal tornar a aprendre.
Pas 6. Repetiu fins que es resolgui el problema
Disminuïu el número següent del denominador a la resta de la divisió per obtenir 100. Com que 11 <100, escriviu 1 com a número següent de la divisió. Continueu el càlcul com abans:
- Escriu 11 per 100 i resta per obtenir 1.
- Baixeu l'últim dígit del numerador a 11.
- 11 = 11, així que escriviu 1 com a darrer dígit del quocient (resposta).
- Com que no hi ha resta, el càlcul s'ha completat. La resposta és 00111, o només 111.
Pas 7. Afegiu punts radix si cal
De vegades, el resultat d’un càlcul no és un nombre enter. Si encara us queda divisió després d'utilitzar l'últim dígit, afegiu ".0" al numerador i "." al quocient, de manera que encara podeu obtenir un número més i continuar el càlcul. Repetiu fins aconseguir la precisió desitjada i, tot seguit, arrodoneu el resultat. En paper, podeu arrodonir cap avall eliminant l'últim 0, o si l'últim és un 1, descarteu-lo i afegiu l'últim número més recent a 1. A la programació, seguiu un dels diversos algoritmes d'arrodoniment estàndard per evitar errors en convertir números binaris. a decimal i viceversa.
- La divisió binària sol donar lloc a parts fraccionàries repetides, més sovint que el mateix procés del sistema decimal.
- Això s'anomena més comunament "punt radix", que s'aplica a qualsevol base, perquè el terme "punt decimal" només s'aplica al sistema decimal.
Mètode 2 de 2: Utilització del mètode complementari
Pas 1. Comprendre el concepte bàsic
Una manera de resoldre el problema de la divisió, sobre qualsevol base, és restar restant el denominador del numerador, i després la resta, comptant quantes vegades es pot repetir aquest procés abans d’obtenir un nombre negatiu. L'exemple següent és un càlcul a la base deu, calculant 26 7:
- 26-7 = 19 (restar 1 vegada)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5-7 = -2. Números negatius, així que feu un pas enrere. El resultat és 3 i la resta es divideix per 5. Tingueu en compte que aquest mètode no calcula la part fraccionària de la resposta.
Pas 2. Apreneu a restar amb complements
Tot i que podeu utilitzar el mètode anterior en un sistema binari fàcilment, també podem reduir l’ús d’un mètode més eficient, que permet estalviar temps en programar l’ordinador per fer una divisió binària. Això és la resta amb el mètode del complement en binari. Aquí teniu els conceptes bàsics, calculant entre 111 i 011 (assegureu-vos que els dos números tinguin la mateixa longitud):
- Trobeu el complement del segon número restant cada dígit de 1. Aquest pas és fàcil de fer en el sistema binari canviant cada 1 a 0 i cada 0 a 1. En aquest exemple, 011 a 100.
- Suma 1 al resultat del càlcul: 100 + 1 = 101. Aquest nombre s’anomena complement de dos, de manera que la resta es pot resoldre com a suma. En essència, el resultat d’aquest càlcul és com si suméssim nombres negatius i no restéssim nombres positius, un cop finalitzat aquest procés.
- Afegiu el resultat al primer número. Escriu i resol el problema de l’addició: 111 + 101 = 1100.
- Elimineu més números. Traieu el primer número del resultat del càlcul per obtenir el resultat final. 1100 → 100.
Pas 3. Combineu els dos conceptes descrits anteriorment
Ara ja coneixeu el mètode de la resta per resoldre problemes de divisió, així com el mètode del complement dels dos per resoldre problemes de resta. Mitjançant els passos següents, podeu combinar els dos en un sol mètode per resoldre el problema de la divisió. Si voleu, proveu de resoldre-ho vosaltres mateixos abans de continuar.
Pas 4. Resteu el denominador del numerador, sumant el complement dels dos
Treballem sobre el problema 100011 000101. El primer pas és resoldre 100011 - 000101, mitjançant el mètode del complement de tots dos per convertir aquest càlcul en una suma:
- Complement de dos de 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Elimineu l'excés de números → 011110
Pas 5. Afegiu 1 al resultat de la divisió
En un programa d’ordinador, aquí és on afegiu 1 al quocient. Sobre el paper, anoteu notes a les cantonades perquè no es barregin amb altres treballs. Hem aconseguit restar una vegada, de manera que el resultat de la divisió fins ara és 1.
Pas 6. Repetiu el procés restant el denominador de la resta del càlcul
El resultat del nostre darrer càlcul és la resta de la divisió després que el denominador estigui "cobert" una vegada. Seguiu afegint el complement dels dos del denominador a cada repetició i traient dígits addicionals. Afegiu 1 al quocient de cada iteració, repetint fins a obtenir la resta del càlcul igual o menor que el denominador:
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (quocient 1 + 1 = 10)
- 0110001 + 111011 = 1010100 → 010100 (quocient 10 + 1 = 11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 és inferior a 101, de manera que ens aturem aquí. La resposta a aquest procés de divisió és 111. Tot i que la resta de la divisió és el resultat final del procés de resta, en aquest cas 0 (cap resta).
Consells
- Cal tenir en compte les instruccions per augmentar (afegir 1), baixar (restar 1) o eliminar de la pila (pop stack) abans d'aplicar matemàtiques binàries en un conjunt d'instruccions de màquina.
- El mètode de complement de les dues per a la resta no funcionarà si els números tenen un nombre diferent de dígits. Per solucionar-ho, afegiu un zero al començament del número per obtenir un nombre més petit.
- Ignoreu els números negatius en els números binaris negatius abans de calcular, excepte per determinar si la resposta és positiva o negativa.
