Un pentàgon és un polígon amb cinc costats rectes. La majoria de problemes que trobareu a la classe de matemàtiques inclouen un pentàgon regular amb cinc costats iguals. Hi ha dues maneres generals de trobar amplitud, en funció de la quantitat d'informació que tingueu.
Pas
Mètode 1 de 3: trobar àrea de longitud lateral i apotema
Pas 1. Comenceu per les longituds laterals i l'apotema
Aquest mètode es pot utilitzar per a pentàgons regulars amb cinc costats iguals. A més de les longituds laterals, necessitareu l '"apotema" del pentàgon. L'apotema és una línia des del centre del pentàgon fins a un dels costats que talla el costat amb un angle recte de 90º.
- No confongueu l'apotema i el radi, que toquen un dels vèrtexs i no el punt mitjà. Si només coneixeu la longitud del costat i el radi, ometeu aquest mètode i passeu al mètode següent.
-
Utilitzarem l’exemple d’un pentàgon amb longitud lateral
Pas 3. unitat i apotema
Pas 2. unitat.
Pas 2. Divideix el pentàgon en cinc triangles
Dibuixa cinc línies des del centre del pentàgon, que condueixen a cada vèrtex. Ara tens cinc triangles.
Pas 3. Cerqueu l'àrea d'un dels triangles
Cada triangle té pedestal que és igual al costat del pentàgon. Cada triangle també té alt que és igual a l'apotema del pentàgon. (Recordeu, l’alçada d’un triangle s’estén des del vèrtex del triangle fins al costat oposat, formant un angle recte.) Per trobar l’àrea de qualsevol triangle, simplement calculeu x base x alçada.
-
En el nostre exemple, l'àrea del triangle = x 3 x 2 =
Pas 3. unitat al quadrat.
Pas 4. Multipliqueu per cinc per trobar l'àrea total
Hem dividit el pentàgon en cinc triangles iguals. Per trobar l’àrea total, simplement multipliqueu l’àrea d’un dels triangles per cinc.
-
En el nostre exemple, L (pentàgon total) = 5 x L (triangle) = 5 x 3 =
Pas 15. unitat al quadrat.
Mètode 2 de 3: trobar àrea des de la longitud lateral
Pas 1. Comenceu només amb les longituds laterals
Aquest mètode només s'aplica als pentàgons regulars que tenen cinc costats iguals.
-
En aquest exemple, utilitzarem un pentàgon amb longitud lateral
Pas 7. unitat.
Pas 2. Divideix el pentàgon en cinc triangles
Dibuixeu una línia des del centre del pentàgon fins a qualsevol vèrtex. Repetiu-ho per a tots els punts de les cantonades. Ara teniu cinc triangles, cadascun de la mateixa mida.
Pas 3. Divideix el triangle per la meitat
Dibuixeu una línia des del centre del pentàgon fins a la base d’un dels triangles. Aquesta línia hauria de tocar la base amb un angle recte de 90, dividint el triangle en dos triangles iguals més petits.
Pas 4. Anomeneu un dels triangles més petits
Ja podem anomenar un dels costats i un dels angles del triangle més petit:
- pedestal el triangle és de la longitud del costat del pentàgon. En el nostre exemple, la longitud de la base és x 7 = 3,5 unitats.
- Gran cantonada al centre del pentàgon sempre hi ha 36º. (A partir del centre 360, podeu dividir-lo en 10 d'aquests triangles més petits. 360 10 = 36, de manera que l'angle d'un dels triangles és de 36º).
Pas 5. Calculeu l'alçada del triangle. Alt d’aquest triangle és el costat que és perpendicular (formant un angle recte) amb el costat del pentàgon, que apunta cap al centre. Podem utilitzar la trigonometria bàsica per trobar la longitud d’aquest costat:
- En un triangle rectangle, tangent d'un angle és igual a la longitud del costat oposat dividit per la longitud del costat adjacent.
- El costat oposat a l'angle de 36º és la base del triangle (la meitat del costat del pentàgon). El costat adjacent a l'angle 36º és l'altura del triangle.
- tan (36º) = oposat / adjacent
- En el nostre exemple, tan (36º) = 3,5 / alçada
- alçada x marró (36º) = 3, 5
- alçada = 3,5 / marró (36º)
- alçada = (aproximadament) 4, 8 unitat.
Pas 6. Cerqueu l'àrea del triangle
L’àrea d’un triangle és la base x l’alçada. (L = a). Ara que ja coneixeu l’alçada, introduïu aquests valors per trobar l’àrea del vostre petit triangle.
En el nostre exemple, l'àrea del petit triangle = at = (3, 5) (4, 8) = 8, 4 unitats quadrades
Pas 7. Multiplicar per trobar l'àrea del pentàgon
Un d’aquests triangles més petits és 1/10 de l’àrea del pentàgon. Per trobar l’àrea total, multipliqueu l’àrea del triangle més petit per 10.
En el nostre exemple, l'àrea del pentàgon sencer = 8, 4 x 10 = 84 unitat al quadrat.
Mètode 3 de 3: Ús de fórmules
Pas 1. Utilitzeu el perímetre i l'apotema
L’apotema és una línia del centre d’un pentàgon que toca un costat en angle recte. Si se us dóna la longitud de l'apotema, podeu utilitzar aquesta fórmula senzilla.
- Àrea d’un pentàgon regular = ka / 2, on k = perímetre i a = apotema.
- Si no coneixeu el perímetre, calculeu el perímetre a partir de la longitud del costat: k = 5s, on s és la longitud del costat.
Pas 2. Utilitzeu les longituds laterals
Si només coneixeu les longituds laterals, utilitzeu la fórmula següent:
- Àrea del pentàgon regular = (5 s 2) / (4tan (36º)), on s = longitud del costat.
- tan (36º) = (5-2√5). Per tant, si la calculadora no té una funció marró, utilitzeu la fórmula Àrea = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Pas 3. Trieu una fórmula que només utilitzi el radi
Fins i tot podeu trobar la zona si només coneixeu el radi. Utilitzeu aquesta fórmula:
Àrea del pentàgon regular = (5/2) r 2sin (72º), on r és el radi.
Consells
- Els exemples que es donen aquí utilitzen valors arrodonits per facilitar el càlcul. Si mesureu el polígon real amb les longituds laterals donades, obtindreu resultats lleugerament diferents per a les altres longituds i àrees.
- Si és possible, utilitzeu el mètode geomètric i el mètode de la fórmula i compareu els resultats per assegurar-vos que teniu la resposta correcta. És possible que obtingueu una resposta lleugerament diferent si introduïu la fórmula alhora (ja que no arrodonireu quan feu el càlcul), però la resposta hauria de ser pràcticament la mateixa.
- Un pentàgon irregular, o un pentàgon amb els costats desiguals, és més difícil d'aprendre. El millor mètode sol ser dividir el pentàgon en triangles i sumar l'àrea de cada triangle. És possible que també hàgiu de dibuixar la forma més gran al voltant del pentàgon, calcular-ne l’àrea i restar l’àrea de l’exterior del pentàgon.
- Les fórmules es deriven de mitjans geomètrics, gairebé els mateixos que els descrits aquí. Fixeu-vos si podeu esbrinar com obtenir les fórmules. La fórmula del radi és més difícil de derivar que les altres fórmules (suggeriment: necessitareu una identitat de doble o doble angle).
