El determinant de les matrius s'utilitza sovint en càlculs, àlgebra lineal i geometria a un nivell superior. Fora de l’àmbit acadèmic, els enginyers i programadors de computació gràfica utilitzen matrius i els seus determinants tot el temps. Si ja sabeu determinar el determinant d’una matriu de l’ordre de 2x2, només heu d’aprendre quan s’utilitza la suma, la resta i els temps per determinar el determinant d’una matriu d’ordre 3x3.
Pas
Part 1 de 2: Determinació dels determinants
Escriviu la vostra matriu d’ordre 3 x 3. Començarem amb una matriu A d’ordre 3x3 i intentarem trobar el determinant | A |. A continuació es mostra la forma general de notació matricial que utilitzarem i un exemple de la nostra matriu:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| M | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Pas 1. Seleccioneu una fila o una columna
Feu que la vostra selecció sigui la fila o columna de referència. Segons el que trieu, encara obtindreu la mateixa resposta. Seleccioneu temporalment la primera fila. A la secció següent us donarem alguns suggeriments per triar l’opció més fàcil de calcular.
Seleccioneu la primera fila de la matriu de mostra A. Encercleu el número 1 5 3. En una notació comuna, encercleu a11 a12 a13.
Pas 2. Ratlla la fila i la columna del primer element
Mireu la fila o la columna que heu encerclat i seleccioneu el primer element. Ratlla les files i les columnes. Només quedaran 4 números sense tocar. Feu d’aquests 4 números una matriu d’ordre 2 x 2.
- En el nostre exemple, la nostra fila de referència és 1 5 3. El primer element es troba a la primera fila i a la primera columna. Ratlla tota la 1a fila i la primera columna. Escriviu els elements restants en una matriu de 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Pas 3. Determineu el determinant de la matriu d’ordre 2 x 2
Recordeu, determineu el determinant de la matriu [ac bd] per ad - bc. Potser també heu après a determinar el determinant d’una matriu dibuixant una X entre una matriu de 2 x 2. Multipliqueu els dos números connectats per la línia / de X. Després, resteu el nombre de vegades que els dos números connectats per la línia / són. Utilitzeu aquesta fórmula per calcular el determinant d’una matriu de 2 x 2.
- A l'exemple, el determinant de la matriu [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Aquest determinant es diu menor dels elements que heu seleccionat a la matriu inicial. En aquest cas, acabem de trobar el menor d'un11.
Pas 4. Multipliqueu el nombre que heu trobat per l'element que heu seleccionat
Recordeu que heu seleccionat elements de la fila (o columna) de referència quan heu decidit quines files i columnes voleu ratllar. Multipliqueu aquest element pel determinant de la matriu 2 x 2 que heu trobat.
A l'exemple, escollim un11 que és 1. Multiplicar aquest nombre per -34 (el determinant de la matriu 2 x 2) per obtenir 1 * -34 = - 34.
Pas 5. Determineu el símbol de la vostra resposta
El següent pas és que heu de multiplicar la resposta per 1 o -1 per obtenir-la cofactor de l'element que heu seleccionat. El símbol que utilitzeu depèn d'on es trobin els elements de la matriu 3 x 3. Recordeu que aquesta taula de símbols s'utilitza per determinar el multiplicador del vostre element:
- + - +
- - + -
- + - +
- Perquè triem un11 que està marcat com a +, multiplicarem el nombre per +1 (o dit d’una altra manera, no el canvieu). La resposta que apareixerà serà la mateixa, és a dir - 34.
- Una altra manera de definir un símbol és utilitzar la fórmula (-1) i + j on i i j són elements de fila i columna.
Pas 6. Repetiu aquest procés per al segon element de la fila o columna de referència
Torneu a la matriu original de 3 x 3 que heu encerclat anteriorment la fila o la columna. Repetiu el mateix procés amb l'element:
-
Ratlla la fila i la columna de l’element.
En aquest cas, seleccioneu l'element a12 (que val 5). Ratlla la primera fila (1 5 3) i la 2a columna (5 4 6).
-
Converteix els elements restants en una matriu de 2x2.
En el nostre exemple, la matriu d’ordre 2x2 per al segon element és [24 72].
-
Determineu el determinant d’aquesta matriu 2x2.
Utilitzeu la fórmula ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
Multiplicar pels elements de la matriu 3x3 escollida.
-24 * 5 = -120
-
Decidiu si multiplicar el resultat anterior per -1 o no.
Utilitzeu una taula de símbols o fórmules (-1)ij. Seleccioneu l'element a12 simbolitzat: a la taula de símbols. Substituïu el nostre símbol de resposta per: (-1) * (- 120) = 120.
Pas 7. Repetiu el mateix procés per al tercer element
Teniu un cofactor més per determinar el determinant. Compteu i per al tercer element de la vostra fila o columna de referència. Aquí hi ha una manera ràpida de calcular el cofactor a13 al nostre exemple:
- Ratlla la 1a fila i la 3a columna per obtenir [24 46].
- El determinant és 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Multiplicar per l'element a13: -4 * 3 = -12.
- Element a13 símbol + a la taula de símbols, de manera que la resposta és - 12.
Pas 8. Sumeu els resultats dels vostres tres recomptes
Aquest és l’últim pas. Heu calculat tres cofactors, un per a cada element d'una fila o columna. Sumeu aquests resultats i trobareu el determinant d’una matriu de 3 x 3.
A l'exemple, el determinant de la matriu és - 34 + 120 + - 12 = 74.
Part 2 de 2: Facilitar la resolució de problemes
Pas 1. Seleccioneu la fila o la columna de referències que tinguin més 0
Recordeu, podeu seleccionar qualsevol fila o columna que vulgueu. El que escolliu, la resposta serà la mateixa. Si seleccioneu una fila o columna amb el número 0, només haureu de calcular el cofactor amb elements que no siguin 0 perquè:
- Per exemple, seleccioneu la segona fila que té l'element a21, a22, fons23. Per resoldre aquest problema, utilitzarem 3 matrius 2 x 2 diferents, diguem A21, A22, Vostè23.
- El determinant de la matriu 3x3 és a21| A21| - a22| A22| + a23| A23|.
- Si a22 fons23 valor 0, la fórmula existent serà a21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21|. Per tant, només calcularem el cofactor d’un sol element.
Pas 2. Utilitzeu files addicionals per facilitar els problemes de matriu
Si agafeu els valors d’una fila i els afegiu a una altra fila, el determinant de la matriu no canviarà. El mateix passa amb les columnes. Podeu fer-ho repetidament o multiplicar-lo per una constant abans d'afegir-lo per obtenir el màxim de 0 a la matriu. Això pot estalviar molt de temps.
- Per exemple, teniu una matriu amb 3 files: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Per eliminar el número 9 que es troba a la posició a11, podeu multiplicar el valor de la segona fila per -3 i afegir el resultat a la primera fila. Ara, la primera primera línia és [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nova matriu té files [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Utilitzeu el mateix truc a les columnes per fer un12 ser el número 0.
Pas 3. Utilitzeu el mètode ràpid per a matrius triangulars
En aquest cas especial, el determinant és el producte dels elements de la diagonal principal, de a11 a la part superior esquerra fins a33 a la part inferior dreta de la matriu. Aquesta matriu segueix sent una matriu de 3x3, però la matriu "triangle" té un patró especial de nombres que no són 0:
- Matriu triangular superior: tots els elements que no són 0 es troben a sobre o per sobre de la diagonal principal. Tots els números per sota de la diagonal principal són 0.
- Matriu triangular inferior: tots els elements que no són 0 es troben sobre o per sota de la diagonal principal.
- Matriu diagonal: tots els elements que no són 0 es troben a la diagonal principal (el subconjunt dels tipus de matrius anteriors).
Consells
- Si tots els elements d'una fila o columna són 0, el determinant de la matriu és 0.
- Aquest mètode es pot utilitzar per a totes les mides de matrius quadràtiques. Per exemple, si utilitzeu aquest mètode per a una matriu d'ordre 4x4, el vostre "toc" deixarà una matriu d'ordre 3x3 el determinant del qual es pot determinar seguint els passos anteriors. Recordeu, fer això pot ser avorrit!
