La forma arrel és una afirmació algebraica que té el signe de l'arrel quadrada (o arrel cub o superior). Aquest formulari sovint pot representar dos nombres que tenen el mateix valor tot i que poden semblar diferents a primera vista (per exemple, 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Per tant, necessitem una "fórmula estàndard" per a aquest tipus de formulari. Si hi ha dues afirmacions, totes dues a la fórmula estàndard, que semblen diferents, no són les mateixes. Els matemàtics coincideixen que la formulació estàndard de la forma quadràtica compleix els requisits següents:
- Eviteu utilitzar fraccions
- No utilitzeu potències fraccionàries
- Eviteu utilitzar la forma arrel al denominador
- No conté la multiplicació de dues formes d'arrel
- Els números que hi ha a sota de l'arrel ja no es poden arrelar
Un ús pràctic d’això és en els exàmens de resposta múltiple. Quan trobeu una resposta, però la vostra resposta no és la mateixa que les opcions disponibles, proveu de simplificar-la en una fórmula estàndard. Com que els creadors de preguntes solen escriure respostes en fórmules estàndard, feu el mateix amb les vostres respostes perquè coincideixin amb les seves. En les preguntes assaig, ordres com ara "simplifica la resposta" o "simplifica totes les arrels" vol dir que els estudiants han de realitzar els passos següents fins que compleixin la fórmula estàndard de l'anterior. Aquest pas també es pot utilitzar per resoldre equacions, tot i que alguns tipus d’equacions són més fàcils de resoldre en fórmules no estàndards.
Pas
Pas 1. Si cal, reviseu les regles per operar arrels i exponents (ambdues són iguals - les arrels són potències de fraccions) ja que les necessitem en aquest procés
Reviseu també les regles per simplificar els polinomis i les formes racionals, ja que els haurem de simplificar.
Mètode 1 de 6: quadrats perfectes
Pas 1. Simplifiqueu totes les arrels que contenen quadrats perfectes
Un quadrat perfecte és el producte d’un nombre per si mateix, per exemple, 81, que és un producte de 9 x 9. Per simplificar un quadrat perfecte, només cal eliminar l’arrel quadrada i escriure l’arrel quadrada del nombre.
- Per exemple, 121 és un quadrat perfecte perquè 11 x 11 és igual a 121. Per tant, podeu simplificar l'arrel (121) a 11, eliminant el signe arrel.
- Per fer aquest pas més fàcil, haureu de recordar els primers dotze quadrats perfectes: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Pas 2. Simplifiqueu totes les arrels que contenen cubs perfectes
Un cub perfecte és el producte de multiplicar un nombre per si mateix dues vegades, per exemple 27, que és el producte de 3 x 3 x 3. Per simplificar la forma arrel d’un cub perfecte, només cal eliminar l’arrel quadrada i escriure l’arrel quadrada del número.
Per exemple, 343 és un cub perfecte perquè és el producte de 7 x 7 x 7. Per tant, l’arrel cub de 343 és 7
Mètode 2 de 6: convertir fraccions en arrels
O canviant al revés (de vegades ajuda), però no els barregeu en la mateixa afirmació que root (5) + 5 ^ (3/2). Suposarem que voleu utilitzar el formulari arrel i utilitzarem els símbols root (n) per a l'arrel quadrada i sqrt ^ 3 (n) per a l'arrel cub.
Pas 1. Agafeu un a la potència de la fracció i converteix-lo a la forma arrel, per exemple x ^ (a / b) = arrel a la potència b de x ^ a
Si l'arrel quadrada està en forma de fracció, converteix-la en forma regular. Per exemple, arrel quadrada (2/3) de 4 = arrel (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Pas 2. Converteix els exponents negatius en fraccions, per exemple x ^ -y = 1 / x ^ y
Aquesta fórmula només s'aplica a exponents constants i racionals. Si teniu un formulari com 2 ^ x, no el canvieu, fins i tot si el problema indica que x pot ser una fracció o un nombre negatiu
Pas 3. Fusionar la mateixa tribu i simplificar la forma racional resultant.
Mètode 3 de 6: Eliminació de les fraccions a les arrels
La fórmula estàndard requereix que l'arrel sigui un enter.
Pas 1. Mireu el número que hi ha sota l’arrel quadrada si encara conté una fracció
Si encara, …
Pas 2. Canvieu a una fracció formada per dues arrels mitjançant l'arrel d'identitat (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
No utilitzeu aquesta identitat si el denominador és negatiu o si és una variable que podria ser negativa. En aquest cas, simplifiqueu primer la fracció
Pas 3. Simplifiqueu cada quadrat perfecte del resultat
És a dir, convertiu sqrt (5/4) a sqrt (5) / sqrt (4) i, a continuació, simplifiqueu-lo a sqrt (5) / 2.
Pas 4. Utilitzeu altres mètodes de simplificació com ara simplificar fraccions complexes, combinar termes iguals, etc
Mètode 4 de 6: Combinació d'arrels de multiplicació
Pas 1. Si esteu multiplicant una forma d'arrel per una altra, combineu-les en una arrel quadrada amb la fórmula:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Per exemple, canvieu root (2) * root (6) a root (12).
- La identitat anterior, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), és vàlida si el número sota el signe del sqrt no és negatiu. No utilitzeu aquesta fórmula quan a i b siguin negatives perquè cometreu l'error de fer sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). L'afirmació de l'esquerra és igual a -1 (o no està definida si no utilitzeu números complexos) mentre que la declaració de la dreta és +1. Si a i / o b són negatius, primer "canvieu" el signe com sqrt (-5) = i * sqrt (5). Si el formulari sota el signe arrel és una variable el signe del qual es desconeix del context o pot ser positiu o negatiu, deixeu-lo tal com és de moment. Podeu utilitzar la identitat més general, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) que s'aplica a tots els nombres reals a i b, però normalment aquesta fórmula no ajuda molt perquè afegeix complexitat a l’ús de la funció sgn (signum).
- Aquesta identitat només és vàlida si les formes de les arrels tenen el mateix exponent. Podeu multiplicar diferents arrels quadrades com sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) convertint-les a la mateixa arrel quadrada. Per fer-ho, convertiu temporalment l'arrel quadrada en una fracció: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). A continuació, utilitzeu la regla de multiplicar per multiplicar les dues a l’arrel quadrada de 6125.
Mètode 5 de 6: treure el factor quadrat de l'arrel
Pas 1. Factorització de les arrels imperfectes en factors primers
Un factor és un nombre que, multiplicat per un altre nombre, forma un nombre, per exemple, el 5 i el 4 són dos factors de 20. Per desglossar les arrels imperfectes, escriviu tots els factors del nombre (o tants com sigui possible, si el nombre és massa gran) fins que no trobeu un quadrat perfecte.
Per exemple, intenteu trobar tots els factors de 45: 1, 3, 5, 9, 15 i 45. 9 és un factor de 45 i també és un quadrat perfecte (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Pas 2. Traieu tots els multiplicadors que siguin quadrats perfectes de l’arrel quadrada
9 és un quadrat perfecte perquè és el producte de 3 x 3. Traieu el 9 de l’arrel quadrada i substituïu-lo per 3 davant de l’arrel quadrada, deixant-ne 5 dins de l’arrel quadrada. Si torneu a "posar" 3 a l'arrel quadrada, multipliqueu per si mateix per fer-ne 9 i, si multipliqueu per 5, en torna 45. 3 arrels de 5 és una forma senzilla d’expressar l’arrel de 45.
És a dir, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Pas 3. Cerqueu el quadrat perfecte a la variable
L'arrel quadrada d'un quadrat és | a |. Podeu simplificar-ho a només "a" si la variable coneguda és positiva. L’arrel quadrada d’a a la potència de 3 quan es desglossa a l’arrel quadrada d’un temps quadrat a - recordeu que els exponents sumen quan multipliquem dos nombres per la potència de a, de manera que un temps quadrat a equival a a al tercer poder.
Per tant, un quadrat perfecte en forma de cub és un quadrat
Pas 4. Traieu la variable que conté el quadrat perfecte de l'arrel quadrada
Ara, agafeu un quadrat de l'arrel quadrada i canvieu-lo per | a |. La forma simple de l'arrel a al poder de 3 és | a | arrel a.
Pas 5. Combineu els termes iguals i simplifiqueu totes les arrels dels resultats del càlcul
Mètode 6 de 6: Racionalitzar el denominador
Pas 1. La fórmula estàndard requereix que el denominador sigui un enter (o un polinomi si conté una variable) tant com sigui possible
-
Si el denominador consta d’un terme sota el signe arrel, com ara […] / root (5), multipliqueu tant el numerador com el denominador per aquesta arrel per obtenir […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * arrel (5) / 5.
Per a arrels cubes o superiors, multipliqueu per l'arrel adequada de manera que el denominador sigui racional. Si el denominador és l'arrel ^ 3 (5), multipliqueu el numerador i el denominador per sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Si el denominador consisteix a sumar o restar dues arrels quadrades com sqrt (2) + sqrt (6), multipliqueu el quantificador i el denominador pel seu conjugat, que és la mateixa forma però amb el signe oposat. Aleshores […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). A continuació, utilitzeu la fórmula d'identitat per a la diferència de dos quadrats [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] per racionalitzar el denominador, per simplificar (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Això també s'aplica a denominadors com 5 + sqrt (3) perquè tots els enters són arrels d'altres enters. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2 sqrt (3) ^ 2) = (5 sqrt (3)) / (25-3) = (5 sqrt (3)) / 22]
- Aquest mètode també s'aplica a l'addició d'arrels com sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Si els agrupeu en (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) i multiplica per (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), la resposta no és en forma racional, sinó encara en una arrel + b * (30) on a i b ja són nombres racionals. A continuació, repetiu el procés amb els conjugats a + b * sqrt (30) i (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) serà racional. En essència, si podeu utilitzar aquest truc per eliminar un signe arrel del denominador, podeu repetir-lo moltes vegades per eliminar totes les arrels.
- Aquest mètode també es pot utilitzar per a denominadors que contenen una arrel superior, com ara la quarta arrel de 3 o la setena arrel de 9. Multiplicar el numerador i el denominador pel conjugat del denominador. Malauradament, no podem obtenir directament el conjugat del denominador i és difícil fer-ho. La resposta la podem trobar en un llibre d’àlgebra sobre teoria de nombres, però no hi aprofundiré.
Pas 2. Ara el denominador té una forma racional, però el numerador sembla un desastre
Ara tot el que heu de fer és multiplicar-lo pel conjugat del denominador. Endavant i multipliqueu com multiplicaríem els polinomis. Comproveu si es pot ometre, simplificar o combinar algun terme, si és possible.
Pas 3. Si el denominador és un enter negatiu, multipliqueu tant el numerador com el denominador per -1 per fer-lo positiu
Consells
- Podeu cercar en línia llocs que us ajudin a simplificar els formularis arrel. Només cal que escriviu l’equació amb el signe arrel i, després de prémer Retorn, apareixerà la resposta.
- Per a preguntes més senzilles, no podeu fer servir tots els passos d’aquest article. Per a preguntes més complexes, és possible que hàgiu de fer diversos passos més d’una vegada. Utilitzeu els passos "simples" unes quantes vegades i comproveu si la vostra resposta s'ajusta als criteris de formulació estàndard que hem comentat anteriorment. Si la vostra resposta es troba en la fórmula estàndard, heu acabat; però si no, podeu consultar un dels passos anteriors per ajudar-vos a fer-ho.
- La majoria de referències a la "fórmula estàndard recomanada" per a la forma d'arrels també s'apliquen als nombres complexos (i = root (-1)). Fins i tot si una sentència conté una "i" en lloc d'una arrel, eviteu els denominadors que encara continguin una i tant com sigui possible.
- Algunes de les instruccions d’aquest article donen per fet que totes les arrels són quadrades. Els mateixos principis generals s'apliquen a les arrels de potències superiors, tot i que algunes parts (especialment racionalitzant el denominador) poden ser bastant difícils de treballar. Decidiu quina forma voleu, com sqr ^ 3 (4) o sqr ^ 3 (2) ^ 2. (No recordo quina forma se sol suggerir als llibres de text).
- Algunes de les instruccions d’aquest article utilitzen la paraula "fórmula estàndard" per descriure "forma regular". La diferència és que la fórmula estàndard només accepta la forma 1 + sqrt (2) o sqrt (2) +1 i considera la resta de formes com a no estàndard; La forma simple suposa que, lector, sou prou intel·ligent per veure la "semblança" d'aquests dos números, tot i que no són idèntics per escrit ("mateix" significa en la seva propietat aritmètica (addició commutativa), no en la seva propietat algebraica (arrel) (2) és l'arrel no negativa de x ^ 2-2)). Esperem que els lectors comprenguin la lleugera negligència en l’ús d’aquesta terminologia.
- Si alguna de les pistes sembla ambigua o contradictòria, feu tots els passos que siguin inequívocs i consistents i, a continuació, trieu la forma que preferiu.
