Un vector és una magnitud física que té magnitud i direcció (per exemple, velocitat, acceleració i desplaçament), a diferència d’un escalar que només consta de magnitud (per exemple, velocitat, distància o energia). Si es poden afegir escalars afegint magnituds (per exemple, 5 kJ de treball més 6 kJ de treball equival a 11 kJ de treball), els vectors són una mica difícils de sumar o restar. Vegeu el pas 1 següent per conèixer algunes maneres de sumar o restar vectors.
Pas
Mètode 1 de 3: sumar i restar vectors de components coneguts
Pas 1. Escriviu els components dimensionals del vector en notació vectorial
Com que els vectors tenen magnitud i direcció, generalment es poden desglossar en parts segons les dimensions x, y i / o z. Aquestes dimensions se solen escriure en una notació similar per descriure un punt en un sistema de coordenades (per exemple, i altres). Si coneixeu aquesta part, sumar o restar vectors és molt fàcil, només heu de sumar o restar les coordenades x, y i z.
- Fixeu-vos si les dimensions del vector són 1, 2 o 3. Per tant, el vector pot tenir components x, x i y, o x, y i z. El nostre exemple següent utilitza un vector de 3 dimensions, però el procés és com un vector de 1 o 2 dimensions.
- Suposem que tenim dos vectors tridimensionals, el vector A i el vector B. Podem escriure aquests vectors utilitzant una notació vectorial com A = i B =, on a1 i a2 són components x, b1 i b2 són components y i c1 i c2 són components z.
Pas 2. Per afegir els dos vectors, suma els seus components
Si es coneixen els dos components d’un vector, podeu afegir els vectors afegint-ne els components. En altres paraules, afegiu el component x del primer vector al component x del segon vector i feu el mateix per a y i z. La resposta que obtindreu sumant els components x, y, z d’aquests vectors són els components x, y i z del vostre nou vector.
- En termes generals, A + B =.
- Afegim dos vectors A i B. A = i B =. A + B = o.
Pas 3. Per restar ambdós vectors, resteu-ne els components
Com discutirem més endavant, restar un vector a un altre es pot considerar que afegeix els seus vectors recíprocs. Si es coneixen els components d'ambdós vectors, és possible restar un vector d'un altre restant el primer component del segon component (o afegint els components negatius d'ambdós).
- En termes generals, A-B =
- Restem dos vectors A i B. A = i B =. A - B =, o.
Mètode 2 de 3: sumar i restar amb imatges mitjançant el mètode Head and Tail
Pas 1. Simbolitza el vector dibuixant-lo amb el cap i la cua
Com que els vectors tenen magnitud i direcció, podem dir que tenen una cua i un cap. En altres paraules, un vector té un punt de partida i un punt final que indica la direcció del vector la distància del punt de partida és igual a la magnitud del vector. Quan es dibuixa, el vector pren la forma d’una fletxa. La punta de la fletxa és el cap del vector i l’extrem de la línia vectorial és la cua.
Si creeu un dibuix vectorial amb dimensions, haureu de mesurar i dibuixar totes les cantonades amb precisió. L'angle incorrecte de la imatge afectarà el resultat resultant quan s'afegeixin o restin dos vectors mitjançant aquest mètode
Pas 2. Per afegir, dibuixar o moure el segon vector de manera que la cua es trobi amb el cap del primer vector
Això s’anomena combinar vectors cap a cua. Si només suma dos vectors, això és el que heu de fer abans de trobar el vector resultant.
Tingueu en compte que l’ordre en què afegiu vectors no importa, suposant que utilitzeu el mateix punt de partida. Vector A + Vector B = Vector B + Veltor A
Pas 3. Per restar, afegiu un signe negatiu al vector
Reduir vectors mitjançant imatges és molt senzill. Invertiu la direcció del vector, però mantingueu la mateixa magnitud i sumeu el cap i la cua del vector com de costum. En altres paraules, per restar un vector, gireu el vector 180o i sumar.
Pas 4. Si sumeu o resteu més de dos vectors, combineu tots els vectors en un ordre de cap a cua
L’ordre de la fusió no té importància. Aquest mètode es pot utilitzar independentment del nombre de vectors.
Pas 5. Dibuixeu un nou vector des de la cua del primer vector fins al cap de l'últim vector
Tant si esteu sumant / restant dos vectors com un centenar, el vector que s’estén des del punt de partida inicial (la cua del primer vector) fins al punt final del vostre darrer vector (el cap del vostre darrer vector) és el vector resultant o la suma de tots els vostres vectors. Tingueu en compte que aquest vector és exactament el mateix que el vector obtingut sumant tots els components x, y i / o z.
- Si dibuixeu tots els vostres vectors a mida, mesurant tots els angles correctament, podeu determinar la magnitud del vector resultant mesurant la longitud. També podeu mesurar l'angle entre el resultat i qualsevol vector horitzontalment o verticalment per determinar la seva direcció.
- Si no dibuixeu tots els vostres vectors a mida, potser haureu de calcular la magnitud del resultat mitjançant la trigonometria. Potser les regles del seno i del cosinus us ajudaran. Si afegiu més de dos vectors, és útil afegir el primer vector pel segon, després afegiu la resultant del segon al tercer, etc. Consulteu les seccions següents per obtenir més informació.
Pas 6. Dibuixeu el vostre vector resultant utilitzant la seva magnitud i direcció
Un vector es defineix per la seva longitud i direcció. Com a l’anterior, suposant que heu dibuixat el vostre vector amb precisió, la magnitud del vostre nou vector és la seva longitud i la seva direcció és l’angle en relació amb la direcció vertical o horitzontal. Utilitzeu els vectors unitaris que afegiu o resteu per determinar les unitats de la magnitud del vector resultant.
Per exemple, si els vectors afegits representen la velocitat en ms-1, llavors el vector resultant es pot definir com "velocitat x ms-1 contra y o cap a la direcció horitzontal.
Mètode 3 de 3: suma i resta de vectors mitjançant l’especificació de components dimensionals vectorials
Pas 1. Utilitzeu la trigonometria per determinar els components d'un vector
Per trobar els components d’un vector, normalment cal conèixer la seva magnitud i direcció en relació amb la direcció horitzontal o vertical i comprendre la trigonometria. Suposant un vector bidimensional, primer, penseu en el vostre vector com la hipotenusa d’un triangle rectangle els dos costats del qual siguin paral·lels a les direccions x i y. Es pot considerar que aquests dos costats són components d’un vector cap a cua que se sumen per formar el vostre vector.
- Les longituds dels dos costats són iguals a les components xyy del vostre vector i es poden calcular mitjançant la trigonometria. Si x és una magnitud vectorial, el costat adjacent a l'angle vectorial (en relació amb les direccions horitzontal, vertical i altres) és xcos (θ), mentre que el costat oposat és xsin (θ).
- També és molt important tenir en compte la direcció dels components. Si el component apunta a una coordenada negativa, se li dóna un signe negatiu. Per exemple, en un pla bidimensional, si un component apunta cap a l'esquerra o cap avall, és negatiu.
- Per exemple, suposem que tenim un vector amb magnitud 3 i direcció 135o en relació amb l’horitzontal. Amb aquesta informació, podem determinar que el component x és 3cos (135) = - 2, 12 i el component y és 3sin (135) = 2, 12
Pas 2. Sumeu o resteu dos o més vectors relacionats
Un cop hàgiu trobat els components de tots els vostres vectors, sumeu-los per trobar els components del vostre vector resultant. En primer lloc, suma totes les magnituds dels components horitzontals (que són paral·lels a la direcció x). Per separat, sumeu totes les magnituds dels components verticals (que són paral·lels a la direcció y). Si un component és negatiu (-), la seva magnitud es resta, no s’afegeix. La resposta que obtindreu és el component del vostre vector resultant.
Per exemple, el vector del pas anterior,, s'afegeix al vector. En aquest cas, el vector resultant es converteix en o
Pas 3. Calculeu la magnitud del vector resultant utilitzant el teorema de Pitàgores
Teorema de Pitàgores c2= a2+ b2, s'utilitza per trobar la longitud del costat d'un triangle rectangle. Com que el triangle format pel nostre vector resultant i els seus components és un triangle rectangle, el podem utilitzar per trobar la longitud i la magnitud del vector. Amb c com a magnitud del vector resultant, que busqueu, suposem que a és la magnitud del component x i b és la magnitud del component y. Resoldre amb àlgebra.
-
Per trobar la magnitud del vector els components del qual hem estat buscant en el pas anterior, utilitzeu el teorema de Pitàgores. Resoleu de la següent manera:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Pas 4. Calculeu la direcció resultant mitjançant la funció Tangent
Finalment, trobeu el vector resultant de la direcció. Utilitzeu la fórmula = tan-1(b / a), on és la mida de l'angle format en la direcció x o horitzontal, b és la mida del component y i a és la mida del component x.
-
Per trobar la direcció del nostre vector, utilitzeu = tan-1(b / a).
- = bronzejat-1(-6, 88/3, 66)
- = bronzejat-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Pas 5. Dibuixeu el vostre vector resultant segons la seva magnitud i direcció
Tal com s’ha escrit anteriorment, els vectors es defineixen per la seva magnitud i direcció. Assegureu-vos d’utilitzar les unitats adequades a la mida del vostre vector.
Per exemple, si el nostre exemple vectorial representa una força (en Newtons), podem escriure-la "força 7,79 N per -61,99 o a horitzontal ".
Consells
- El vector és diferent del gran.
- Els vectors amb la mateixa direcció es poden afegir o restar sumant o restant les seves magnituds. Si tu resumir dos vectors que són oposats, les seves magnituds es resten, no s’afegeixen.
- Els vectors representats en la forma x i + y j + z k es poden afegir o restar sumant o restant els coeficients dels tres vectors unitaris. La resposta també es presenta en forma d’i, j i k.
- Podeu trobar la mida d’un vector tridimensional mitjançant la fórmula a2= b2+ c2+ d2 on a és la magnitud del vector, i b, c i d són els components de cada direcció.
- Els vectors de columna es poden afegir i restar sumant o restant els valors de cada fila.
