En el càlcul de derivades, un punt d'inflexió és el punt d'una corba en què la corba canvia de signe (de positiu a negatiu o de negatiu a positiu). S'utilitza en diversos temes, inclosos enginyeria, economia i estadístiques, per determinar canvis fonamentals en les dades. Si necessiteu trobar el punt d'inflexió d'una corba, aneu al pas 1.
Pas
Mètode 1 de 3: comprensió dels punts d'inflexió
Pas 1. Comprendre la funció còncava
Per entendre el punt d’inflexió, cal distingir entre funcions còncaves i convexes. Una funció còncava és una funció en què la línia que connecta dos punts del gràfic mai no està per sobre del gràfic.
Pas 2. Comprendre la funció convexa
Una funció convexa és bàsicament l’oposada a una funció convexa: és a dir, una funció en què la línia que connecta dos punts del gràfic mai no està per sota del gràfic.
Pas 3. Comprendre els conceptes bàsics d’una funció
La base d’una funció és el punt en què la funció és igual a zero.
Si voleu representar gràficament una funció, les bases són els punts on la funció talla l’eix x
Mètode 2 de 3: Trobar la derivada d'una funció
Pas 1. Cerqueu la primera derivada de la vostra funció
Abans de trobar el punt d'inflexió, heu de trobar la derivada de la vostra funció. La derivada de la funció bàsica es pot trobar a qualsevol llibre de càlculs; Els heu d’aprendre abans de passar a feines més complicades. La primera derivada s'escriu com a f '(x). Per a una expressió polinòmica de la forma axp + bx (p − 1) + cx + d, la primera derivada és apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Per il·lustrar, suposem que heu de trobar el punt d'inflexió de la funció f (x) = x3 + 2x − 1. Calculeu la primera derivada de la funció així:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Pas 2. Cerqueu la segona derivada de la vostra funció
La segona derivada és la primera derivada de la primera derivada de la funció, escrita com a f (x).
-
A l'exemple anterior, calcular la segona derivada de la funció seria així:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Pas 3. Feu que la segona derivada sigui igual a zero
Estableix la segona derivada a zero i resol l’equació. La vostra resposta és un possible punt d'inflexió.
-
A l'exemple anterior, el vostre càlcul seria així:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Pas 4. Cerqueu la tercera derivada de la vostra funció
Per veure si realment la vostra resposta és un punt d’inflexió, busqueu la tercera derivada, que és la primera derivada de la segona derivada de la funció, escrita com f (x).
-
A l'exemple anterior, el vostre càlcul seria així:
f (x) = (6x) ′ = 6
Mètode 3 de 3: trobar punts d'inflexió
Pas 1. Comproveu la vostra tercera derivada
La regla estàndard per comprovar possibles punts d'inflexió és la següent: "Si la tercera derivada no és zero, f (x) = / 0, el punt d'inflexió possible és en realitat el punt d'inflexió". Comproveu el vostre tercer derivat. Si no és igual a zero, aquest valor és el veritable punt d'inflexió.
A l'exemple anterior, la vostra tercera derivada és 6, no 0. Per tant, 6 és el veritable punt d'inflexió
Pas 2. Cerqueu el punt d'inflexió
Les coordenades del punt d'inflexió s'escriuen com (x, f (x)), on x és el valor del punt variable en el punt d'inflexió i f (x) és el valor de la funció en el punt d'inflexió.
-
A l'exemple anterior, recordeu que quan calculeu la segona derivada, trobareu que x = 0. Per tant, heu de trobar f (0) per determinar les vostres coordenades. El vostre càlcul serà així:
f (0) = 03 + 2 × 0−1 = 1.
Pas 3. Anoteu les vostres coordenades
Les coordenades del punt d'inflexió són el valor x i el valor que heu calculat anteriorment.
