Com dibuixar un gràfic quadrat: 10 passos (amb imatges)

2024 Autora: Jason Gerald | [email protected]. Última modificació: 2024-02-01 14:12

Quan es representa gràficament, l’equació de segon grau és de la forma destral² + bx + c o bé a (x - h)² + k formen la lletra U o una corba U invertida anomenada paràbola. Fer gràfics d’una equació de segon grau busca el vèrtex, la direcció i sovint la intersecció x i. En casos d’equacions quadràtiques bastant simples, pot ser suficient introduir un conjunt de valors x i traçar la corba en funció dels punts resultants. Consulteu el pas 1 següent per començar.

Pas

Pas 1. Determineu la forma de l'equació de segon grau que teniu

Les equacions quadràtiques es poden escriure en tres formes diferents: forma general, forma de vèrtex i forma quadràtica. Podeu utilitzar qualsevol forma per representar gràficament una equació de segon grau; el procés de representació de cada gràfic és lleugerament diferent. Si feu els deures, normalment rebreu preguntes en una d’aquestes dues formes; és a dir, no podreu triar, de manera que és millor entendre-les totes dues. Les dues formes de l'equació de segon grau són:

• Forma general.

  En aquesta forma, l’equació de segon grau s’escriu com: f (x) = ax² + bx + c on a, b i c són nombres reals i a no és zero.

  Per exemple, dues equacions quadràtiques de forma general són f (x) = x² + 2x + 1 i f (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma de pic.

  En aquesta forma, l’equació de segon grau s’escriu com: f (x) = a (x - h)² + k on a, h i k són nombres reals i a no és zero. Es diu forma de vèrtex perquè h i k donaran immediatament el vèrtex (punt mitjà) de la paràbola en el punt (h, k).

  Les dues equacions de vèrtex formen f (x) = 9 (x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Per representar gràficament qualsevol tipus d’equació, primer hem de trobar el vèrtex de la paràbola, que és el punt mitjà (h, k) al final de la corba. Les coordenades dels pics en la forma general es calculen com: h = -b / 2a i k = f (h), mentre que en la forma de pics, h i k es troben a l’equació.

Pas 2. Definiu les variables

Per resoldre un problema quadràtic, normalment s’han de definir les variables a, b, i c (o a, h i k). Un problema d’àlgebra ordinari donarà una equació de segon grau amb les variables disponibles, generalment en forma general, però de vegades en forma de pic.

• Per exemple, per a una equació de forma general f (x) = 2x² + 16x + 39, tenim a = 2, b = 16 i c = 39.
• Per a l'equació de forma de pic f (x) = 4 (x - 5)² + 12, tenim a = 4, h = 5 i k = 12.

Pas 3. Calculeu h

A l’equació de la forma de vèrtex, el vostre valor h ja està indicat, però a l’equació de forma general s’ha de calcular el valor h. Recordeu que, per a les equacions de forma general, h = -b / 2a.

• En el nostre exemple de forma general (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Després de resoldre, trobem que h = - 4.
• En el nostre exemple de forma de vèrtex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabem que h = 5 sense fer matemàtiques.

Pas 4. Calculeu k

Igual que h, k ja es coneix a l’equació de la forma de pic. Per a equacions de forma general, recordeu que k = f (h). En altres paraules, podeu trobar k substituint tots els valors x de la vostra equació pels valors h que acabeu de trobar.

• En el nostre exemple de forma general, ja hem determinat que h = -4. Per trobar k, resolem la nostra equació connectant el valor de h en lloc de x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Pas 7.

• En el nostre exemple de forma màxima, de nou, sabem el valor de k (que és 12) sense haver de fer cap matemàtica.

Pas 5. Dibuixa el teu pic

El vèrtex de la paràbola és el punt (h, k) - h representa la coordenada x, mentre que k representa la coordenada y. El vèrtex és el punt mitjà de la paràbola, ja sigui a la part inferior de la U o a la part superior de la U invertida. Conèixer els vèrtexs és una part important per dibuixar una paràbola precisa; sovint, en les tasques escolars, determinar el vèrtex és la part que cal cercar en una pregunta.

• En el nostre exemple de forma general, el nostre pic és (-4, 7). Així, la nostra paràbola culminarà 4 passos a l’esquerra des de 0 i 7 passos per sobre (0, 0). Hem de representar aquest punt al nostre gràfic, assegurant-nos de marcar les coordenades.
• En el nostre exemple de forma de vèrtex, el nostre vèrtex és (5, 12). Hem de dibuixar un punt 5 passos cap a la dreta i 12 passos per sobre (0, 0).

Pas 6. Dibuixeu l'eix de la paràbola (opcional)

L’eix de simetria d’una paràbola és una línia que passa pel seu centre, dividint-la exactament pel centre. En aquest eix, el costat esquerre de la paràbola reflectirà el costat dret. Per a equacions de segon grau en la forma ax² + bx + c o a (x - h)² + k, l'eix de simetria és la línia que és paral·lela a l'eix y (és a dir, exactament vertical) i que passa pel vèrtex.

En el cas del nostre exemple de forma general, l’eix és la línia paral·lela a l’eix y i que passa pel punt (-4, 7). Tot i que no forma part de la paràbola, marcar finament aquesta línia al gràfic us ajudarà a veure la forma simètrica de la corba de la paràbola

Pas 7. Cerqueu la direcció de l'obertura de la paràbola

Després de conèixer el pic i l’eix de la paràbola, a continuació, hem de saber si la paràbola s’obre cap amunt o cap avall. Afortunadament, això és fàcil. Si el valor de a és positiu, la paràbola s’obrirà cap amunt, mentre que si el valor de a és negatiu, la paràbola s’obrirà cap avall (és a dir, la paràbola s’invertirà).

• Per al nostre exemple de forma general (f (x) = 2x² + 16x + 39), sabem que tenim una paràbola que s’obre perquè, a la nostra equació, a = 2 (positiu).
• Per al nostre exemple de forma de vèrtex (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), sabem que també tenim una paràbola que s’obre perquè a = 4 (positiu).

Pas 8. Si cal, cerqueu i dibuixeu la intersecció x

Sovint, en les tasques escolars, se us demanarà que trobeu la intersecció x a la paràbola (que és un o dos punts on la paràbola es troba amb l’eix x). Fins i tot si no en trobeu cap, aquests dos punts són molt importants per dibuixar una paràbola precisa. Tot i això, no totes les paràboles tenen una intercepció en x. Si la paràbola té un vèrtex que s’obre i el vèrtex està per sobre de l’eix X o si s’obre cap avall i el vèrtex està per sota de l’eix X, la paràbola no tindrà cap intercepció de x. En cas contrari, resoleu la vostra intercepció x d'una de les maneres següents:

• Només cal fer f (x) = 0 i resoldre l’equació. Aquest mètode es pot utilitzar per a equacions quadràtiques simples, especialment en forma de pic, però serà molt difícil per a equacions complexes. Vegeu un exemple a continuació

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Arrel (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 és la intersecció x de la paràbola.

• Tingueu en compte la vostra equació. Algunes equacions en la forma ax² + bx + c es pot incloure fàcilment en la forma (dx + e) (fx + g), on dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. En aquest cas, les vostres interseccions x són valors x que faran que qualsevol terme entre parèntesis = 0. Per exemple:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • En aquest cas, la vostra única intercepció de x és -1 perquè si feu x igual a -1, qualsevol terme de parèntesi serà igual a 0.

• Utilitzeu la fórmula quadràtica. Si no podeu resoldre fàcilment la vostra intercepció-x ni calcular la vostra equació, utilitzeu una equació especial anomenada fórmula quadràtica creada amb aquest propòsit. Si encara no s'ha resolt, convertiu l'equació a la forma ax² + bx + c, a continuació, introduïu a, b i c a la fórmula x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Tingueu en compte que aquest mètode sovint us dóna dues respostes pel valor de x, que està bé; només vol dir que la paràbola té dues interceptacions de x. Vegeu un exemple a continuació:

  • -5x² + 1x + 10 es posa a la fórmula quadràtica així:
  • x = (-1 +/- arrel (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- arrel (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- arrel (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) i (-15, 18 / -10). La intersecció x a la paràbola és x = - 1, 318 i 1, 518
  • El nostre exemple anterior de la forma general, 2x² + 16x + 39 es posa a la fórmula quadràtica de la següent manera:
  • x = (-16 +/- arrel (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- arrel (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- arrel (-56) / - 10
  • Com que és impossible trobar l’arrel quadrada d’un nombre negatiu, sabem que aquesta paràbola no té cap intercepció x.

Pas 9. Si cal, cerqueu i dibuixeu la intersecció en y

Tot i que sovint no és necessari buscar l’intercepció en equacions (el punt on la paràbola passa a través de l’eix y), és possible que finalment hagueu de trobar-la, sobretot si esteu a l’escola. El procés és bastant senzill: només cal fer x = 0 i, a continuació, resoldre l’equació de f (x) o y, que dóna el valor de y on la paràbola passa a través de l’eix y. A diferència de la intersecció x, una paràbola regular només pot tenir una intersecció y. Nota: per a equacions de forma general, la intersecció y és a y = c.

• Per exemple, sabem que la nostra equació de segon grau és 2x² + 16x + 39 té una intercepció en y = 39, però també es pot trobar de la següent manera:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. La intersecció en y de la paràbola és a y = 39.

    Com es va assenyalar anteriorment, la intercepció en y és en y = c.

• La forma de la nostra equació de vèrtex és 4 (x - 5)² + 12 té una intercepció en y que es pot trobar de la següent manera:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. La intersecció en y de la paràbola és a y = 112.

Pas 10. Si cal, dibuixeu punts addicionals i dibuixeu un gràfic

Ara teniu el vèrtex, la direcció, la intercepció en x i, possiblement, la intercepció en y a la vostra equació. En aquesta etapa, podeu provar de dibuixar la paràbola utilitzant els punts que teniu com a guia o buscar altres punts per omplir la paràbola de manera que la corba que dibuixeu sigui més precisa. La forma més senzilla de fer-ho és simplement introduir alguns valors x en qualsevol costat del vèrtex i, a continuació, traçar aquests punts utilitzant els valors y que obtingueu. Sovint, els professors us demanen que busqueu diversos punts abans de dibuixar la paràbola.

• Repassem l’equació x² + 2x + 1. Ja sabem que la intersecció x només és a x = -1. Com que la corba només toca la intersecció x en un punt, podem concloure que el vèrtex és la seva intersecció x, el que significa que el vèrtex és (-1, 0). Efectivament, només tenim un punt per a aquesta paràbola: no és suficient per dibuixar una bona paràbola. Busquem alguns altres punts per assegurar-nos que dibuixem un gràfic complet.

  • Cerquem els valors y dels següents valors x: 0, 1, -2 i -3.
  • Per a 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. El nostre punt és (0, 1).

  • Per a 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. El nostre punt és (1, 4).

  • Per a -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. El nostre punt és (-2, 1).

  • Per a -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. El nostre punt és (-3, 4).

  • Dibuixa aquests punts al gràfic i dibuixa la teva corba en forma d’U. Tingueu en compte que la paràbola és perfectament simètrica: quan els punts d’un costat de la paràbola són enters, normalment podeu reduir el treball de reflectir simplement un punt determinat a l’eix de simetria de la paràbola per trobar el mateix punt a l’altre costat de la paràbola..

Consells

• Arrodoneu números o utilitzeu fraccions segons la petició del vostre professor d’àlgebra. Això us ajudarà a representar gràficament millor l’equació de segon grau.
• Tingueu en compte que a f (x) = ax² + bx + c, si b o c és igual a zero, aquests números desapareixeran. Per exemple, 12x² + 0x + 6 es converteix en 12x² + 6 perquè 0x és 0.