Els quadres màgics s’han popularitzat amb la invenció de jocs basats en matemàtiques com el Sudoku. Un quadrat màgic és una disposició de nombres en un quadrat tal que la suma de cada fila, columna i diagonal és igual a un nombre fix, anomenat "constant màgica". Aquest article us explicarà com resoldre tot tipus de quadrats màgics, tant per ordre imparell, com per parell no múltiple de quatre, o fins i tot per múltiple de quatre.
Pas
Mètode 1 de 3: resolució de quadres màgics d’ordre senar
Pas 1. Calculeu la constant màgica
Podeu trobar aquest número mitjançant una fórmula matemàtica senzilla, on n = el nombre de files o columnes del quadrat màgic. Per exemple, per a un quadrat màgic 3x3, llavors n = 3. Constant màgica = [n * (n * n + 1)] / 2. Així, a l'exemple amb un quadrat 3x3:
- Suma = [3 * (3 * 3 + 1)] / 2
- Suma = [3 * (9 + 1)] / 2
- Quantitat = (3 * 10) / 2
- Quantitat = 30/2
- La constant màgica d’un quadrat màgic 3x3 és 30/2, que és 15.
- Totes les files, columnes i diagonals han de sumar aquest número.
Pas 2. Col·loqueu el número 1 al quadrat central de la fila superior
Aquí és on sempre comenceu per les caselles màgiques d’ordre estrany, per grans o petites que siguin. Per tant, si teniu un quadrat màgic de 3x3, col·loqueu 1 al quadrat 2 (segon quadrat de l’esquerra o de la dreta). Un altre exemple, per a un quadrat màgic de 15x15, col·loqueu el número 1 al quadrat 8 (el vuitè quadrat d’esquerra o dreta).
Pas 3. Empleneu els números restants amb el patró "un quadrat cap amunt, un quadrat a la dreta"
Sempre introduïu els números de manera seqüencial (1, 2, 3, 4, etc.) movent-vos una fila cap amunt i després una columna a la dreta. Aviat notareu que per col·locar el número 2 passareu de la fila superior, fora del quadrat màgic. No importa, ja que, tot i que sempre introduïu els números d'una manera cap amunt, a la dreta d'aquest quadre, hi ha tres excepcions que també tenen regles patrons i previsibles:
- Si el moviment del farciment de números us condueix a un quadre que passa per la fila superior del quadrat màgic, mantingueu-vos a la columna d’aquest quadrat, però col·loqueu el número a la fila inferior d’aquesta columna.
- Si el moviment de la numeració us condueix a un quadre que passa per la columna més dreta del quadrat màgic, mantingueu-vos a la fila d'aquest quadrat, però col·loqueu els números a la columna més esquerra d'aquesta fila.
- Si el moviment dels números d'emplenament us fa anar a un quadre que s'ha omplert, torneu al quadre anterior que s'ha omplert i col·loqueu el número següent a sota d'aquest quadre.
Mètode 2 de 3: resolució de quadres màgics d'ordre parell no múltiples de quatre
Pas 1. Comprendre què s’entén per un quadrat màgic d’un ordre parell i no un múltiple de quatre
Tothom sap que els nombres parells són divisibles per dos, però als quadrats màgics hi ha diferents metodologies per resoldre quadrats d’ordre parell que no són múltiples de quatre (individualment fins i tot quadrat màgic) i els que són múltiples de quatre (doblement quadrat parell).
- Els quadrats d’ordre parell que no són múltiples de quatre tenen un nombre de quadrats a cada costat divisibles per dos, però no divisibles per quatre.
- Els quadrats màgics d’ordre parell que no siguin múltiples de quatre són els més petits de 6x6, perquè no es poden crear quadrats màgics de 2x2.
Pas 2. Calculeu la constant màgica
Utilitzeu el mateix mètode que faríeu amb un quadrat màgic d’ordre senar: la constant màgica = [n * (n * n + 1)] / 2, on n = el nombre de quadrats a cada costat. Per tant, a l’exemple d’un quadrat màgic 6x6:
- Suma = [6 * (6 * 6 + 1)] / 2
- Suma = [6 * (36 + 1)] / 2
- Quantitat = (6 * 37) / 2
- Quantitat = 222/2
- La constant màgica d’un quadrat màgic de 6x6 és 222/2, que és 111.
- Totes les files, columnes i diagonals han de sumar aquest número.
Pas 3. Divideix el quadrat màgic en quatre quadrants de mida igual
Marqueu-los amb A (dalt a l'esquerra), C (dalt a la dreta), D (baix a l'esquerra) i B (baix a la dreta). Per esbrinar la mida de cada quadrant, només cal dividir el nombre de quadrats de cada fila o columna per dos.
Per tant, per a un quadrat de 6x6, la mida de cada quadrant és de 3x3 quadrats
Pas 4. Doneu a cada quadrant un rang de nombres
El quadrant A obté la quarta part dels primers números, el quadrant B és la quarta part dels segons números, el quadrant C és la quarta part dels tercers números i el quadrant D és l’últim quart del rang total de números d’un quadrat màgic de 6x6.
A l'exemple quadrat de 6x6, el quadrant A es numerarà de l'1 al 9, el quadrant B amb el 10 al 18, el quadrant C amb el 19 al 27 i el quadrant D amb el 28 al 36
Pas 5. Resol cada quadrant utilitzant la metodologia per a quadrats màgics d’ordre senar
El quadrant A serà fàcil d’omplir, ja que comença amb el número 1, igual que un quadrat màgic en general. Però per als quadrants B a D, començarem amb els números inusuals 10, 19 i 28, per a aquest exemple.
- Penseu en el primer número de cada quadrant com si fos un. Col·loqueu-lo al quadre central de la fila superior de cada quadrant.
- Penseu en cada quadrant com si fos el seu propi quadrat màgic. Fins i tot si un quadre es troba en un quadrant adjacent, ignoreu-lo i procediu segons la regla d '"excepció" adequada a la situació.
Pas 6. Creeu els aspectes destacats A i D
Si intenteu sumar les columnes, les files i les diagonals en aquest punt, notareu que encara no són iguals a la constant màgica. Haureu d’intercanviar alguns quadrats entre els quadrants superior esquerre i inferior esquerre per completar el quadrat màgic. Ens referirem a aquestes zones permutables com a destacats A i D. (Notes:
les explicacions d’aquest i del següent pas són més específiques per als quadrats màgics de 6x6, que poden no ser adequats per als quadres màgics més grans).
- Amb un llapis, marqueu tots els requadres de la fila superior fins arribar a la posició de la caixa mitjana del quadrant A. (Nota: La mediana es pot trobar a partir de la fórmula n = (4 * m) + 2, amb m com a mediana). Per tant, en un quadrat de 6x6, només marcaríeu el quadrat 1 (que conté el número 8 al quadre), però en un quadrat de 10x10, marcaríeu els quadrats 1 i 2 (que contenen els números 17 i 24 en ambdós quadrats, respectivament).).
- Marqueu una àrea com a quadrat mitjançant els quadres que s'han marcat com a fila superior. Si només marqueu una casella, el vostre quadrat només serà aquella casella. Ens referirem a aquesta àrea com a Ressalt A-1.
- Per tant, per a un quadrat màgic de 10x10, el Ressalt A-1 consistiria en els quadrats 1 i 2 de les files 1 i 2, formant un quadrat de 2x2 a la part superior esquerra del quadrant.
- A la fila següent Ressalteu A-1, ometeu els quadrats de la primera columna i, a continuació, marqueu els quadrats al centre del quadrant. A aquesta fila del mig li anomenarem A-2.
- El ressaltat A-3 és un quadrat idèntic a A-1, però a la cantonada inferior esquerra del quadrant.
- Els aspectes destacats A-1, A-2 i A-3 formen junts el ressalt A.
- Repetiu aquest procés al quadrant D, creant àrees de ressaltat idèntiques denominades D Ressaltats.
Pas 7. Canvieu els aspectes destacats A i D
Es tracta d’un intercanvi rere l’altre. Mou i alterna els quadres entre el quadrant A i el quadrant D sense canviar l'ordre (veure figura). Quan hàgiu fet això, totes les files, columnes i diagonals del quadrat màgic haurien de sumar la constant màgica que heu calculat.
Mètode 3 de 3: Resolució de quadres màgics d'ordre par múltiple de quatre
Pas 1. Comprendre què s’entén per un quadrat màgic d’un múltiple d’ordre parell de quatre
Un quadrat màgic d’ordre parell que no sigui múltiple de quatre té un nombre de quadrats a cada costat divisibles per dos, però no divisibles per quatre. Un quadrat màgic d'ordre parell múltiple de quatre té el nombre de quadrats de cada costat divisibles per quatre.
El múltiple de quatre ordres parells més petit que es pot fer és el 4x4
Pas 2. Calculeu la constant màgica
Utilitzeu el mateix mètode que faríeu amb un quadrat màgic d’ordre senar: la constant màgica = [n * (n * n + 1)] / 2, on n = el nombre de quadrats a cada costat. Per tant, a l’exemple d’un quadrat màgic 4x4:
- Suma = [4 * (4 * 4 + 1)] / 2
- Suma = [4 * (16 + 1)] / 2
- Quantitat = (4 * 17) / 2
- Quantitat = 68/2
- La constant màgica d’un quadrat màgic 4x4 és 68/2, que és 34.
- Totes les files, columnes i diagonals han de sumar aquest número.
Pas 3. Creeu els aspectes destacats de l'A a la D
A cada cantonada del quadrat màgic, marqueu un mini quadrat de longitud lateral n / 4, on n = longitud del costat del quadrat màgic. Etiqueta amb els aspectes destacats A, B, C i D en sentit antihorari.
- En un quadrat 4x4, només marcarà les quatre cantonades del quadrat.
- En un quadrat de 8x8, cada Ressalt serà una àrea de 2x2 a la seva cantonada.
- En un quadrat de 12x12, cada Ressalt serà una àrea de 3x3 a la seva cantonada, etc.
Pas 4. Creeu un ressaltat central
Marqueu tots els quadrats al mig del quadrat màgic a l'àrea quadrada de longitud n / 2, on n = longitud del costat del quadrat màgic. Els punts destacats centrals no haurien de tocar els punts destacats de la A a la D, sinó que només s’intersectin amb cadascun d’ells a la cantonada.
- En un quadrat 4x4, el Ressalt central serà una zona de 2x2 al centre.
- En un quadrat de 8 x 8, el Ressalt central serà la zona 4x4 al centre, etc.
Pas 5. Empleneu el quadrat màgic, però només a les zones ressaltades
Comenceu a omplir el número del quadrat màgic d’esquerra a dreta, però introduïu-lo només si el quadrat es troba al quadre Ressalta. Per tant, per a una quadrícula 4x4, empleneu els següents quadres:
- Número 1 al quadre superior esquerre i 4 al quadre superior dret.
- Els números 6 i 7 a les caselles centrals de la segona fila.
- Els números 10 i 11 es troben als quadrats mitjans de la tercera fila.
- El número és 13 al quadre inferior esquerre i 16 al quadre inferior dret.
Pas 6. Empleneu els quadrats restants del quadrat màgic en ordre invers de comptar
Aquest pas és bàsicament el revers del pas anterior. Comenceu de nou al quadre superior esquerre, però aquesta vegada ometeu tots els quadrats de la zona ressaltada i empleneu els quadrats sense ressaltar en ordre invers de compte. Comenceu pel nombre més gran del vostre interval de números. Per tant, per a un quadrat màgic 4x4, empleneu els següents quadres:
- Els números 15 i 14 es troben als quadrats mitjans de la primera fila.
- El número 12 a la casella més esquerra i el 9 a la casella més dreta a la segona fila.
- Els números 8 al quadrat més esquerre i 5 al quadrat més dret a la tercera fila.
- Els números 3 i 2 a les caselles centrals de la quarta fila.
- En aquest punt, totes les columnes, files i diagonals haurien de sumar la constant màgica que heu calculat.
