Completar quadrats és una tècnica útil per ajudar-vos a posar equacions de segon grau en una forma ordenada, cosa que els fa fàcils de veure o fins i tot de resoldre. Podeu completar quadrats per construir fórmules quadràtiques més complexes o fins i tot resoldre equacions de segon grau. Si voleu saber com fer-ho, seguiu aquests passos.
Pas
Part 1 de 2: Convertir equacions ordinàries en funcions quadràtiques
Pas 1. Escriviu l’equació
Suposem que voleu resoldre la següent equació: 3x2 - 4x + 5.
Pas 2. Traieu els coeficients de les variables quadràtiques de les dues primeres parts
Per treure el número 3 de les dues primeres parts, només cal treure el número 3 i posar-lo fora dels claudàtors, dividint cada part per 3. 3x2 dividit per 3 és x2 i 4x dividit per 3 és 4 / 3x. Per tant, la nova equació es converteix en: 3 (x2 - 4 / 3x) + 5. El número 5 roman fora de l’equació perquè no es divideix pel nombre 3.
Pas 3. Divideix la segona part per 2 i quadra-la
La segona part o el que es coneix com a b a l’equació és 4/3. Divideix per dos. 4/3 2 o 4/3 x 1/2 equival a 2/3. Ara, quadra aquesta secció al quadrat del numerador i el denominador de la fracció. (2/3)2 = 4/9. Anoti-ho.
Pas 4. Sumeu i resteu aquestes parts de l'equació
Necessitareu aquesta part addicional per tornar l’equació a un quadrat perfecte. Tanmateix, cal restar-los de la resta de l'equació per sumar-los. Tot i que sembla que tornareu a la vostra equació original. La vostra equació té aquest aspecte: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Pas 5. Traieu la part que heu restat dels claudàtors
Com que teniu un coeficient de 3 fora dels parèntesis, no només podeu sortir -4/9. Primer l’has de multiplicar per 3. -4/9 x 3 = -12/9 o -4/3. Si teniu un coeficient 1 a la secció x2, llavors podeu ometre aquest pas.
Pas 6. Canvieu la part dels claudàtors a un quadrat perfecte
Ara n’hi ha 3 (x2 -4 / 3x +4/9) entre claudàtors. Ja heu intentat obtenir 4/9, que en realitat és una altra manera de completar el quadrat. Per tant, podeu reescriure-ho com a: 3 (x - 2/3)2. Tot el que heu de fer és dividir la segona meitat i eliminar la tercera. Podeu comprovar el vostre treball multiplicant-lo i proposant les tres primeres parts de l’equació.
-
3 (x - 2/3)2 =
Completeu el pas quadrat 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2 / 3x -2 / 3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4 / 3x + 4/9)
Pas 7. Combineu les constants
Ara hi ha dues constants o nombres que no tenen variables. Ara en teniu 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Tot el que heu de fer és sumar -4/3 i 5 per obtenir l’11/3. Els afegiu equiparant els denominadors: -4/3 i 15/3 i, a continuació, sumant els números de manera que obtingueu 11 i deixeu el denominador 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Completeu el pas quadrat 7 Bullet1
Pas 8. Escriviu l’equació en forma quadràtica
Tu has fet. L'equació final és 3 (x - 2/3)2 +11/3. Podeu eliminar el coeficient de 3 dividint els dos costats de l'equació per obtenir (x - 2/3)2 +11/9. Heu escrit correctament l'equació en forma quadràtica, és a dir a (x - h)2 + k, on k representa una constant.
Part 2 de 2: Resolució d’equacions quadràtiques
Pas 1. Escriviu les preguntes
Suposem que voleu resoldre la següent equació: 3x2 + 4x + 5 = 6
Pas 2. Combineu les constants existents i col·loqueu-les al costat esquerre de l'equació
Una constant és qualsevol nombre que no té una variable. En aquest problema, la constant és 5 a l'esquerra i 6 a la dreta. Si voleu moure 6 cap a l'esquerra, heu de restar els dos costats de l'equació per 6. La resta és 0 al costat dret (6-6) i -1 al costat esquerre (5-6). L’equació es converteix en: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Pas 3. Sortiu el coeficient de la variable quadràtica
En aquest problema, 3 és el coeficient de x2. Per obtenir el número 3, només cal treure el número 3 i dividir cada part per 3. Així, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4 / 3x i 1 3 = 1/3. L'equació es converteix en: 3 (x2 + 4 / 3x - 1/3) = 0.
Pas 4. Divideix per la constant que acabeu d'extreure
Això significa que podeu eliminar el coeficient 3. Com que ja heu dividit cada part per 3, podeu eliminar el número 3 sense afectar l'equació. La vostra equació es converteix en x2 + 4 / 3x - 1/3 = 0
Pas 5. Divideix la segona part per 2 i quadra-la
A continuació, agafeu la segona part, 4/3 o part b, i dividiu-la per 2. 4/3 2 o 4/3 x 1/2, és igual a 4/6 o 2/3. I 2/3 al quadrat a 4/9. Un cop l’heu quadrat, l’haureu d’escriure als costats esquerre i dret de l’equació perquè afegiu una part nova. Cal escriure-ho per les dues parts per equilibrar-lo. L’equació es converteix en x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Pas 6. Moveu la constant inicial al costat dret de l'equació i afegiu-la al quadrat del vostre número
Moveu la constant inicial, -1/3, cap a la dreta, convertint-la en 1/3. Afegiu el quadrat del vostre número, 4/9 o 2/32. Trobeu un denominador comú per afegir 1/3 i 4/9 multiplicant les fraccions superior i inferior de 1/3 per 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Ara afegiu 3/9 i 4/9 per obtenir 7/9 a la part dreta de l'equació. L’equació es converteix en: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 i x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Pas 7. Escriviu el costat esquerre de l’equació com un quadrat perfecte
Com que ja heu utilitzat la fórmula per trobar la peça que falta, s'ha omès la part dura. Tot el que heu de fer és posar x i la meitat del valor del segon coeficient entre parèntesis i quadrar-lo, per exemple: (x + 2/3)2. Tingueu en compte que tenir en compte un quadrat perfecte donarà tres parts: x2 + 4/3 x + 4/9. L'equació es converteix en: (x + 2/3)2 = 7/9.
Pas 8. Arrel quadrada dels dos costats
A la part esquerra de l’equació, l’arrel quadrada de (x + 2/3)2 és x + 2/3. Al costat dret de l’equació, obtindreu +/- (√7) / 3. L’arrel quadrada del denominador, 9, és 3 i l’arrel quadrada de 7 és 7. Recordeu escriure +/- perquè l’arrel quadrada pot ser positiva o negativa.
Pas 9. Mou les variables
Per moure la variable x, només cal moure la constant 2/3 al costat dret de l'equació. Ara teniu dues possibles respostes per a x: +/- (√7) / 3 - 2/3. Aquestes són les vostres dues respostes. Podeu deixar-ho sol o trobar el valor de l'arrel quadrada de 7 si heu d'escriure una resposta sense arrel quadrada.
Consells
- Assegureu-vos d’escriure +/- al lloc adequat, en cas contrari només obtindreu una resposta.
- Fins i tot després de conèixer la fórmula quadràtica, practiqueu completant el quadrat regularment demostrant la fórmula quadràtica o resolent alguns problemes. D’aquesta manera, no oblidareu el mètode quan el necessiteu.
